5. Déterminer les couples d'entiers naturels solution d'une équation

Comment déterminer les couples d'entiers naturels solution d'une équation en Terminale Maths expertes ?

En arithmétique, un exercice incontournable consiste à trouver des couples d'entiers naturels \( (x\,;\,y) \) vérifiant une équation donnée. La méthode générale repose sur une stratégie simple : tu dois modifier l'écriture de l'équation pour faire apparaître un produit de deux facteurs égal à un nombre entier. Autrement dit, on cherche à transformer le membre de gauche en une multiplication pour exploiter les propriétés de divisibilité.

Pour y parvenir, deux techniques principales s'offrent à toi. Tu peux utiliser une identité remarquable, très souvent la différence de deux carrés \( a^2 - b^2 \), ou bien chercher un facteur commun. Par exemple, une expression comme \( 3x^2 - 3xy = 20 \) peut s'écrire sous la forme \( 3x(x - y) = 20 \). Une fois ton équation factorisée, la résolution devient un simple problème de recherche de diviseurs.

Quelle est la méthode étape par étape pour résoudre ce type d'équation ?

Prenons un exemple concret détaillé dans la vidéo de cours. Imaginons que tu doives résoudre l'équation suivante, en cherchant des couples d'entiers naturels :

Voici les étapes clés pour trouver tes couples de solutions :

• Étape 1 : Factoriser l'expression. Ici, on reconnaît la célèbre identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) avec \( a = 3x \) et \( b = y \). L'équation devient donc :
  \( (3x - y)(3x + y) = 10 \)
• Étape 2 : Lister les diviseurs. Puisque l'on travaille avec des nombres entiers, \( (3x - y) \) et \( (3x + y) \) sont nécessairement des entiers. Leur produit vaut \( 10 \). Tu dois donc trouver tous les diviseurs positifs de \( 10 \), qui sont : \( 1, 2, 5 \) et \( 10 \).
• Étape 3 : Écrire les produits possibles. Avec ces diviseurs, on peut former deux paires de produits donnant \( 10 \) : \( 1 \times 10 \) et \( 2 \times 5 \).
• Étape 4 : Résoudre les systèmes. Cela nous donne deux cas possibles, en gardant à l'esprit que \( 3x - y \leqslant 3x + y \) puisque \( y \) est un entier naturel.
  Premier système : \( 3x - y = 1 \) et \( 3x + y = 10 \). En additionnant les deux lignes, on obtient \( 6x = 11 \), d'où \( x = \frac{11}{6} \).
  Deuxième système : \( 3x - y = 2 \) et \( 3x + y = 5 \). La somme donne \( 6x = 7 \), soit \( x = \frac{7}{6} \).

Conclusion de notre exemple : les valeurs de \( x \) trouvées sont des fractions, ce ne sont pas des entiers. Il n'y a donc aucun couple d'entiers naturels solution pour cette équation spécifique. Et c'est un résultat tout à fait valide en arithmétique !

Comment éviter les pièges classiques des exercices d'arithmétique en Terminale ?

Pour maîtriser ce chapitre, les 6 exercices interactifs de cette page te proposent différents cas de figure très fréquents en contrôle. Voici ce que tu vas y travailler et les pièges auxquels tu dois faire particulièrement attention :

• Les équations avec des nombres premiers : Dans l'exercice 5, tu factoriseras pour obtenir un produit égal à \( 11 \). Comme \( 11 \) est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont \( 1 \) et \( 11 \), ce qui limite drastiquement les systèmes à tester et te fait gagner un temps précieux.
• Les contraintes de parité : L'exercice 2 te confronte à une équation comportant le facteur \( (2n + 1) \). Le piège ici est d'oublier que \( 2n + 1 \) représente obligatoirement un nombre impair. Parmi les diviseurs du nombre de droite, tu ne devras donc conserver que les diviseurs impairs.
• Les factorisations astucieuses : Les exercices 3 et 4 te demandent de factoriser des expressions complexes du type \( xy - ax - by \). L'astuce classique consiste à forcer la factorisation sous la forme \( (x - a)(y - b) \), puis à ajuster la constante de l'autre côté de l'égalité pour équilibrer l'équation.
• L'ordre des facteurs : Souviens-toi, comme dans les exercices 1 et 6, que si \( x \) et \( y \) sont des entiers naturels, alors \( x - y \leqslant x + y \). Cela t'évite de tester inutilement la moitié des systèmes d'équations !

À toi de jouer : prends un brouillon, applique la méthode de factorisation pas à pas, identifie bien tes diviseurs, et vérifie systématiquement si tes solutions finales appartiennent bien à l'ensemble des entiers naturels !