2. Etablir qu'une somme est divisible par un nombre

Comment montrer qu'une somme est divisible par un entier en Terminale Maths expertes ?

Pour montrer qu'un nombre est divisible par un autre, il faut revenir à la définition de la divisibilité, que tu as déjà croisée en étudiant la parité. Dire qu'un entier est pair, c'est dire qu'il est divisible par 2, et donc qu'il peut s'écrire sous la forme \(2 \times k\), avec \(k\) un entier relatif.

Le principe est exactement le même pour n'importe quel diviseur. Par exemple, pour prouver qu'une somme \(S\) est divisible par 3, ton objectif est de la manipuler algébriquement pour réussir à l'écrire sous la forme \(S = 3 \times Q\), où \(Q\) est un entier (positif ou négatif).

Prenons l'exemple de la somme de trois entiers consécutifs. Le premier entier peut s'écrire \(k\). Le suivant sera logiquement \(k+1\), et le troisième \(k+2\). Si on écrit leur somme, on obtient :

En regroupant les termes, on a \(S = 3k + 3\). Il ne reste plus qu'à factoriser par 3 pour obtenir :

Puisque \(k\) est un entier, \(k+1\) l'est aussi. On a bien réussi à écrire notre somme sous la forme \(3 \times Q\) (avec \(Q = k+1\)). Bingo, cette somme est toujours divisible par 3 !

Quelle astuce de calcul utiliser pour la somme d'entiers consécutifs ?

Il existe une méthode encore plus élégante et rapide pour traiter des sommes de nombres consécutifs en arithmétique. Au lieu de choisir le premier terme comme point de départ, tu peux choisir le terme du milieu !

Si l'on appelle \(k\) l'entier du milieu, l'entier qui le précède est \(k-1\) et celui qui le suit est \(k+1\). Ce sont bien trois entiers consécutifs. Regarde ce qui se passe quand on les additionne :

Les \(-1\) et \(+1\) s'annulent immédiatement, et il te reste directement \(S = 3k\). Tu prouves ainsi en une seule ligne que la somme est un multiple de 3. Cette astuce du « centrage » est un réflexe très utile à acquérir en Maths expertes.

Comment résoudre les exercices sur la divisibilité et les combinaisons linéaires ?

Maintenant que tu as compris le principe de la vidéo, les 6 exercices interactifs de cette page vont te permettre de t'entraîner sur tous les cas classiques du bac. Voici ce qui t'attend et les pièges à éviter :

• L'extension de la méthode (Exercices 1 et 4) : Tu vas appliquer la factorisation à des sommes plus longues (jusqu'à 7 entiers consécutifs) ou à des polynômes. Le secret est de toujours chercher à mettre ton diviseur cible en facteur de toute l'expression.
• La division euclidienne et les restes (Exercice 2) : Tu devras prouver qu'une expression n'est pas un multiple de 13. Le piège classique ici est la gestion des nombres négatifs : n'oublie pas que dans l'écriture \(A = B \times Q + r\), le reste \(r\) doit obligatoirement être positif (\(0 \leqslant r \lt B\)). Attention à ne pas laisser un \(-7\) comme reste !
• Les combinaisons linéaires (Exercice 3) : C'est une compétence incontournable de Terminale. Si un entier \(a\) divise deux expressions contenant du \(n\), il divise n'importe laquelle de leurs combinaisons linéaires. Ton but ? Choisir les bons coefficients multiplicateurs pour éliminer les \(n\) en les soustrayant, et te retrouver avec une simple division d'un nombre constant.
• Le développement de puissances (Exercice 5) : Tu vas manipuler la somme de trois cubes consécutifs. Prends ton temps pour développer les identités remarquables de degré 3 sans faire d'erreur de signe avant de réduire ton expression.
• Les sommes géométriques (Exercice 6) : Cet exercice fait le pont avec tes connaissances sur les suites. Tu vas utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique pour réécrire une expression et démontrer sa divisibilité par un grand nombre.

À toi de jouer, remplis les champs de réponse pour valider ta compréhension !