12. Calcul Hardcore
Comment calculer une fraction à plusieurs étages en 3ème ?
Allez, on aborde un petit dernier cas de calcul numérique avec les fractions. Toujours sur les divisions de divisions de divisions, donc des fractions sur des fractions. Là on a un truc un peu bizarre, ça ressemble à une pyramide un peu. Ce qu'il faut repérer, c'est toujours quels sont les ordres de priorité dans le calcul. On s'occupe toujours de ce qu'il y a entre parenthèses, après les divisions. Et après faire attention, on a des divisions de divisions, donc quelle est la fraction qui est divisée par quelle fraction.
Moi je vous conseille de mettre des petites parenthèses pour se dire, déjà là j'ai une petite somme de fractions à faire. Une fois que j'aurai fait ça, je pourrai mettre tout ça sur la même fraction, et on va arriver au-dessus. Et après on pourra faire le \( 3 \) plus tout le reste. Donc encore une fois, on a déjà abordé toutes les règles de calcul sur les fractions. Donc normalement vous avez toutes vos fiches et si vous avez des doutes sur ces calculs-là, revenez sur les cours d'avant, on a fait plein d'exercices sur les cas.
Le \( 3 \) je ne m'en occupe pas pour l'instant. En priorité, je vais calculer ce qu'il y a tout en bas. Donc le \( 1 \) je le laisse comme ça. Et on est d'accord que \( \frac{1}{1} \), c'est tout simplement \( 1 \). Ça marche ? Donc en bas j'ai \( 15 + 1 \). Je vais le mettre de suite pour gagner un petit peu d'espace. Donc là, on a un petit \( 16 \).
Comment additionner un nombre entier et une fraction ?
Alors comment on fait maintenant ? On va déjà s'occuper de ce \( 7 + \frac{1}{16} \). Quand on a \( 7 + \frac{1}{16} \), on met tout au même dénominateur. Comment je mets \( 7 \) sous le dénominateur \( 16 \) ? Et bien il faut que je le multiplie par \( 16 \) et je peux tout diviser par \( 16 \). Et ça fait \( + 1 \) à la fin. Donc \( 7 \times 16 \), ça me fait \( 7 \times 10 = 70 \) plus \( 7 \times 6 = 42 \), ça me fait \( 112 \). \( 112 + 1 \), ça me fait \( 113 \).
On va remplacer directement, vous pouvez le faire dans une ligne après, moi c'est pour gagner un peu de place. Donc j'ai \( 113 \), \( 112 + 1 \) ça fait \( 113 \), donc \( \frac{113}{16} \). \( 1 \) sur \( \frac{113}{16} \), c'est bien \( 1 \) qui est divisé par la fraction qui est en bas. Donc \( 1 \) divisé par ça, c'est comme \( 1 \) multiplié par l'inverse de ça. L'inverse de ça c'est \( \frac{16}{113} \).
Donc \( 1 \) fois l'inverse de \( \frac{113}{16} \) c'est \( \frac{16}{113} \). Je suis obligé de tout mettre sur la même fraction. Donc comment je fais pour tout mettre sur la fraction de \( 113 \)ème ? Je fais \( \frac{3 \times 113}{113} + \frac{16}{113} \).
Comment savoir si une fraction est irréductible facilement ?
Alors qu'est-ce qu'il me reste ? Là je suis obligé de le calculer parce que j'ai une somme, je n'ai pas de simplification à faire comme ça, on est d'accord. Quand on a une somme, on ne peut pas simplifier direct entre le haut et le bas. Donc \( 3 \times 113 \), ça fait \( 3 \times 100 = 300 \), \( 3 \times 13 = 39 \), donc ça fait bien \( 339 \), il n'y a pas de problème. Plus \( 16 \). Et ça me fait sur \( 113 \). Ça me donne \( \frac{355}{113} \).
Donc là vous pouvez le chercher avec les nombres premiers, en divisant par \( 2, 3, 4, 5 \) pour voir comment je peux simplifier le haut et le bas. Mais on ne peut pas le simplifier, c'est déjà une forme irréductible. Et en fait ce qui est marrant, c'est qu'en fait c'est une approximation parce que ça donne environ \( 3,1415 \dots \) Ça vous savez que c'est le nombre \( \pi \). C'est une approximation de \( \pi \), ce qu'on vient de faire, c'est pas drôle ça ? C'est vraiment du fun, j'adore.
Comment respecter les priorités opératoires avec des fractions complexes ?
Allez, on continue ces petites compétences de calcul hardcore avec les fractions, avec des produits, des nombres négatifs dans tous les sens. Ça fait mal à la tête, mais on va y arriver, tous ensemble, on va y aller étape par étape, tranquillement, méthode cartésienne. Déjà, ce qu'on peut analyser quand on a des calculs dans tous les sens comme ça, c'est se dire : par quoi je vais m'attaquer ?
Raisonnez en parenthèses, vous vous rappelez que le calcul en mathématiques, ça se fait par ordre d'opération. C'est les parenthèses avant, ensuite les produits, ensuite les additions. Donc ici on peut se dire : avant de faire la division ici, je vais devoir m'occuper de ce qu'il y a en haut, parce qu'on peut imaginer des parenthèses comme ça. Avant de faire le produit ici, on peut se dire : je vais déjà finir ma fraction et on va tout mettre sur la même fraction.
On se rappelle, ça aussi c'est des compétences déjà vues, les produits de fractions avec un nombre entier. On fait tout simplement numérateur fois le nombre entier parce que le nombre entier c'est comme \( \frac{-7}{1} \). Les règles de signe, on s'en rappelle, un truc positif fois un truc négatif, ça va être un truc négatif. Donc on peut le mettre devant par exemple. Après j'ai \( 4 \times 7 \). J'aurais pu mettre \( 4 \) fois entre parenthèses \( -7 \), mais je préfère m'occuper de ce signe et le mettre directement devant.
Comment diviser deux fractions avec des signes négatifs ?
Donc maintenant on va commencer à simplifier un petit peu ce calcul-là. J'ai une somme avec une fraction, donc je suis obligé de mettre tout au même dénominateur. Comment je mets \( 5 \) au même dénominateur ? Je suis obligé de multiplier \( 5 \) par \( 2 \), et tout diviser par \( 2 \), plus \( 1 \) ici. Je fais la même chose en bas, c'est \( 1 \) moins \( \frac{1 \times 4}{4} \) pour mettre sur la fraction \( 4 \). Je vais un peu vite encore une fois, on les a abordés ce genre de calculs.
Donc \( 4 \times 7 \), alors là je regarde comment je peux décomposer le bas. Les diviseurs de \( 9 \) c'est seulement \( 3 \). Donc je n'ai pas de \( 3 \) en haut, ce sont des nombres premiers, donc là on peut faire tout simplement que c'est \( 4 \times 7 = 28 \) sur \( 9 \). Ici, on va essayer d'avancer un petit peu. Les parenthèses ne sont pas forcément nécessaires, mais c'est pour vous montrer bien l'ordre. Donc là j'ai \( 5 \times 2 = 10 \), plus \( 1 \) ça fait \( \frac{11}{2} \). \( 1 - 4 \) ça fait \( -3 \), donc \( \frac{-3}{4} \).
Donc là on va avoir une division de fractions sur fractions. On a vu que quand je divise par quelque chose, je le multiplie par l'inverse de la chose, ça on l'a vu plein de fois. Là on est en fin de chapitre, il n'y a pas d'hésitation sur ce genre de choses, donc maintenant il n'y a plus qu'à appliquer. Je me mets encore mes petites parenthèses parce que là je vais mettre mon \( \frac{11}{2} \) fois l'inverse de \( \frac{-3}{4} \) qui est \( \frac{4}{-3} \).
Comment additionner deux fractions avec des dénominateurs différents en 3ème ?
Et là je vais être obligé de faire ce produit-là avant de faire la somme ici. Donc qu'est-ce que ça me donne ? Alors plutôt que de faire \( 11 \times 4 = 44 \) et \( 2 \times (-3) = -6 \), je vois que le \( 4 \) est divisible par \( 2 \). Donc j'ai \( 2 \times 2 \) ici et je divise par \( 2 \), donc je peux simplifier le \( 2 \). Je vais mettre directement ici \( 2 \times 2 \), et là je sais que ça simplifie. On a vu les simplifications dans les produits, ça se fait très bien comme ça. Donc j'ai \( \frac{11 \times 2}{-3} \).
Alors je laisse toujours mon \( -\frac{28}{9} \). Là c'est intéressant au niveau des signes, j'ai un \( \frac{22}{3} \) et j'ai un moins sur un positif ça me fait un moins, j'ai un moins par moins, ça me fait un plus, très bien. Donc maintenant on va essayer de tout mettre au même dénominateur parce qu'on a une somme de fractions. Plutôt que de dire je vais faire \( 9 \times 3 \) et multiplier en croix, on est malins, on voit que \( 9 \) c'est \( 3 \times 3 \), donc on a juste à multiplier par \( 3 \) en haut et en bas de la deuxième fraction.
Donc on va tout mettre sur \( 9 \). \( 22 \times 3 \) ça fait \( 66 \) et notre \( 28 \) est toujours là. Le plus c'est le signe qu'il y avait entre les deux fractions, le \( -28 \) est toujours là. Alors \( -28 + 66 \) c'est comme \( 66 - 28 \). Ça me fait \( \frac{38}{9} \). \( 9 \) c'est un produit de \( 3 \times 3 \), \( 38 \) il n'y a pas de \( 3 \), ce n'est pas divisible par \( 9 \) ni par \( 3 \). Pas de simplification, on est d'accord, c'est une forme irréductible. C'est comme ça qu'on devient bon en calcul numérique, en faisant des trucs très durs.
