11. Fraction : quotient

Comment diviser deux fractions entre elles en 3ème ?

On s'attaque aux divisions de fractions et plus précisément au calcul numérique sur un quotient de fractions. La phrase qu'il faut absolument retenir, c'est que diviser par quelque chose, c'est comme multiplier par son inverse. Cela s'applique parfaitement et se voit très bien avec les fractions. Si l'on a une fraction \( \frac{a}{b} \) qui est divisée par une fraction \( \frac{c}{d} \), c'est équivalent au produit de \( \frac{a}{b} \) par l'inverse de \( \frac{c}{d} \). L'inverse d'une fraction s'obtient tout simplement en changeant la position du numérateur et du dénominateur, ce qui nous donne \( \frac{d}{c} \).

Il est important de faire un petit rappel de vocabulaire pour ne pas confondre certains termes. L'opposé d'un nombre \( a \), c'est \( -a \), on rajoute simplement un signe moins. En revanche, l'inverse d'un nombre \( a \), c'est \( \frac{1}{a} \). Pour une fraction, le dénominateur passe en haut et le numérateur passe en bas. Une fois la division transformée en produit, on applique la règle classique de la multiplication de fractions : numérateur fois numérateur, et dénominateur fois dénominateur. On obtient donc : \[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \] C'est une formule fondamentale à ficher et à mémoriser pour ce type de calcul.

Comment identifier la division principale dans un quotient de fractions ?

Abordons les problèmes pratiques liés à ces quotients. Un point qui perturbe beaucoup d'élèves est de savoir exactement qui divise quoi lorsqu'on se retrouve avec des étages de fractions. Pour ne pas se tromper et se dire à tort que c'est le nombre 1 qui est divisé par \( \frac{8}{3} \) puis divisé par 4, il faut observer la longueur du trait de fraction. La barre de fraction principale, qui est alignée avec le signe égal, est normalement tracée de manière plus large que les autres. C'est elle qui donne la priorité du calcul.

C'est donc le bloc situé au-dessus de cette grande ligne qui est divisé par le bloc situé en dessous. Tout comme il existe des priorités opératoires pour les parenthèses, les multiplications et les additions, la barre de fraction principale dicte l'ordre de la division. Si vous êtes un peu perdu lors de la lecture d'un énoncé, fiez-vous à cette largeur de trait. De plus, pour rendre vos propres calculs plus lisibles et éviter toute confusion, n'hésitez pas à rajouter des parenthèses autour du numérateur global et du dénominateur global. Cela permet de structurer visuellement l'opération.

Comment simplifier un produit de fractions pour obtenir une fraction irréductible ?

Appliquons cette méthode directement au calcul suivant : \[ A = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} \] Nous avons une fraction divisée par \( \frac{3}{4} \). En appliquant la règle, cela revient à multiplier par l'inverse de \( \frac{3}{4} \), c'est-à-dire \( \frac{4}{3} \). L'opération devient alors \( A = \frac{1}{8} \times \frac{4}{3} \). À ce stade, on pourrait être tenté de calculer directement le produit pour obtenir \( \frac{4}{24} \). Cependant, l'objectif est toujours de donner la fraction finale sous sa forme la plus simplifiée possible, c'est-à-dire une fraction irréductible.

Si l'on multiplie tout immédiatement, on se retrouve avec des grands nombres qu'il faudra redécomposer par la suite pour chercher des facteurs communs. Il est bien plus malin de décomposer avant de calculer. En observant notre produit, on remarque la présence d'un 4 au numérateur. Il est judicieux de chercher un 4 au dénominateur pour pouvoir simplifier. Le nombre 8 peut s'écrire \( 4 \times 2 \). En remplaçant, le calcul devient : \[ A = \frac{1 \times 4}{4 \times 2 \times 3} \] Cette décomposition préalable permet de rendre la simplification évidente avant même d'avoir effectué la moindre multiplication complexe.

Que reste-t-il au numérateur quand on simplifie tous les termes ?

Une fois notre calcul décomposé sous la forme \( A = \frac{1 \times 4}{4 \times 2 \times 3} \), on peut procéder à la simplification en supprimant le facteur 4 présent à la fois en haut et en bas. Au dénominateur, il nous reste \( 2 \times 3 \), ce qui donne 6. Mais que se passe-t-il au numérateur ? Souvent, face à un numérateur où tous les facteurs semblent avoir été barrés, on est tenté de se dire qu'il ne reste rien et d'inscrire un zéro. C'est une erreur classique.

Si l'on écrivait 0 en haut, le résultat serait \( \frac{0}{6} \), ce qui équivaut à zéro et fausse complètement le calcul. Il est fondamental de se rappeler qu'un nombre comme 4, c'est la même chose que \( 4 \times 1 \). On aurait d'ailleurs pu laisser ce "fois 1" écrit explicitement pour éviter la confusion. Ainsi, lorsqu'on simplifie le 4, le facteur 1 demeure. Le résultat correct de notre calcul est donc bien \( A = \frac{1}{6} \). Pensez toujours à faire apparaître ce 1 implicite si vous avez peur de vous tromper lors des simplifications complètes d'un étage de fraction.

Comment diviser un nombre entier par une fraction en 3ème ?

Poursuivons avec un cas légèrement différent : la division d'un nombre entier par une fraction. Prenons le calcul suivant : \[ A = \frac{2}{\frac{7}{5}} \] Ici, la grande barre de fraction se situe au niveau du signe égal, juste en dessous du nombre 2. L'analyse visuelle nous indique clairement que c'est l'entier 2 qui est divisé par la fraction \( \frac{7}{5} \). On applique exactement la même règle que précédemment : diviser par \( \frac{7}{5} \), c'est multiplier par son inverse, soit \( \frac{5}{7} \).

L'opération se transforme ainsi en \( 2 \times \frac{5}{7} \). Pour effectuer ce calcul, on multiplie directement l'entier par le numérateur de la fraction. Si cette étape vous pose problème, une astuce très pratique consiste à imaginer que l'entier 2 s'écrit sous la forme de la fraction \( \frac{2}{1} \). Le calcul devient alors une multiplication classique de deux fractions : \[ A = \frac{2}{1} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{1 \times 7} \] Avant de conclure, on vérifie la présence de facteurs communs entre le haut et le bas. Ici, avec 2, 5 et 7, il n'y a rien à simplifier. On trouve donc le résultat final irréductible : \( A = \frac{10}{7} \).

Comment faire la différence entre la division d'une fraction et celle d'un entier ?

Pour bien comprendre l'importance de la lecture de l'énoncé, examinons un deuxième cas qui semble visuellement très proche du précédent : \[ B = \frac{\frac{2}{7}}{5} \] Si l'on compare avec notre calcul A, on pourrait penser qu'il s'agit de la même chose. Pourtant, le résultat sera totalement différent. La subtilité réside encore une fois dans la position de la barre de fraction principale. Cette fois-ci, la grande ligne se trouve sous la fraction \( \frac{2}{7} \). Cela signifie que c'est la fraction \( \frac{2}{7} \) qui est divisée par l'entier 5.

En traduisant cela en multiplication, on obtient \( \frac{2}{7} \) multiplié par l'inverse de 5. Attention, l'inverse de 5 n'est pas son opposé -5, mais bien la fraction \( \frac{1}{5} \). On se retrouve avec le produit : \[ B = \frac{2}{7} \times \frac{1}{5} \] Comme toujours, on cherche d'éventuelles simplifications croisées avant de multiplier. Les numérateurs sont 2 et 1, les dénominateurs sont 7 et 5. Ce sont uniquement des nombres premiers, sans aucun facteur commun. On effectue donc directement la multiplication : \( 2 \times 1 = 2 \) en haut, et \( 7 \times 5 = 35 \) en bas. Le résultat est \( B = \frac{2}{35} \), ce qui n'a absolument rien à voir avec le \( \frac{10}{7} \) trouvé précédemment. Faites donc très attention à la structure de vos quotients.