4. Relatifs : quotient
Comment gérer les signes dans un quotient de nombres relatifs ?
On se fait les quotients de nombres relatifs. Les nombres relatifs, je vous rappelle, c'est négatif, positif. Là, on va s'intéresser qu'à des nombres entiers, mais on le fera sur les prochaines vidéos avec des nombres décimaux, donc des nombres à virgule. Le but de ces vidéos, c'est encore une fois de gérer ces signes. Parce que moi j'en trouve même au lycée qui sont là : « Ah, attendez, comment ça je peux passer le moins ici ? Je ne comprends pas, le moins il est là, pourquoi il passe devant ? »
Donc ça, c'est la règle des signes. Je vous fais encore référence à la première vidéo sur les notions de calcul numérique. Les règles des signes on l'a vu, les rappels sur les opérations, les priorités, les parenthèses, les multiplications, les soustractions, tout ça. Et on a aussi vu des petites notions d'opposé et d'inverse. Donc ça, revenez sur la première vidéo si ce n'est pas clair. Pourquoi je peux mettre le moins devant ? Parce que quand j'ai un nombre négatif sur un nombre positif, l'ensemble, le quotient, ça va être forcément négatif. Donc cette étape, cette écriture-là, on n'est pas obligé de la mettre, mais c'est juste pour vous rappeler : occupez-vous du signe et après faites votre calcul de fraction.
Comment calculer le quotient de deux nombres entiers ?
Donc là, la fraction, on va en faire, des calculs de fractions, des simplifications de fractions, ce sera sur les prochaines vidéos. Ce sont les compétences juste après les puissances. Pour le petit topo, il y a plusieurs manières de le voir, j'ai \(20\) qui est divisé par \(4\). \(20\) c'est bien un multiple de \(4\), donc ça va donner un nombre entier en plus.
Donc qu'est-ce qui multiplie \(4\) qui va donner \(20\) ? C'est \(5\), très bien. \(5 \times 4\), ça fait bien \(20\). Le quotient de \(20\) sur \(4\) donne \(5\). Après vous avez les divisions euclidiennes, là c'est juste connaître ses tables de multiplication. C'est pour ça que c'est très important pour tout ce qui est calculatoire de connaître ses tables de multiplication, c'est un prérequis pour le lycéen et même pour le brevet.
Après, on verra la façon de faire avec les fractions de manière plus rigoureuse. Ça va être : je décompose ça, comme on a vu sur les nombres entiers. Comment on décompose \(20\) ? On peut dire que c'est \(2 \times 10\). On sait que c'est divisible par \(10\), on sait que c'est divisible par \(2\) parce que ça finit par zéro, et c'est divisible par \(5\). Ça je vous fais référence à tout ce qui est nombre entier, les calculs, la divisibilité, la division euclidienne, et cetera. On sait que là ça fait \(2 \times 10\), donc \(2 \times 2 \times 5\), et en bas on a \(2 \times 2\). Ensuite on peut simplifier comme ça avec les fractions. Mais pour l'instant on n'a pas besoin vraiment de ces notions-là parce que c'est assez évident, on va faire le travail très rigoureux sur les fractions sur les vidéos d'après.
Quelle est la règle des signes pour une division de relatifs ?
Le but de cette série de vidéos, c'est vraiment de vous mettre le point sur les signes. Donc là on a vu le cas de moins sur plus. Là on a le plus sur moins, c'est exactement la même règle, ça va être négatif. Et là j'ai un moins par moins, ça va être positif. Donc \(\frac{-3}{-5}\), c'est comme \(\frac{3}{5}\). En maths normalement, là vous avez un nombre premier sur un nombre premier, on peut s'arrêter là. Après ça va dépendre de votre énoncé, donc adaptez-vous toujours à votre énoncé. Là j'ai juste mis « calculer », donc moi comme réponse ça m'irait.
Après, si on vous demande de le mettre sous forme décimale, moi ce que je fais c'est que \(\frac{1}{5}\), je sais que ça fait \(0,2\). En fait, moi je raisonne en proportion. Je sais que un cinquième c'est comme \(20\%\), et là j'ai trois fois un cinquième, donc j'ai \(3 \times 0,2\). Donc \(3 \times 0,2\) ça fait \(0,6\). Et ici j'ai \(\frac{40}{-80}\). C'est un truc assez évident, on voit que \(80\) c'est le double de \(40\), donc là pour un, j'en ai deux ici. Ça fait... attention c'était mon négatif. Donc j'ai \(-\frac{1}{2}\). Moins un demi, ça fait \(-0,5\). Donc là le but, ce n'est pas vraiment encore de faire ces calculs de fractions, c'est juste pour comprendre : quand j'ai un quotient, j'ai un nombre positif au numérateur, un nombre négatif au dénominateur, qu'est-ce que ça fait ?
Comment effectuer un calcul numérique avec des produits au numérateur et dénominateur ?
Allez, calcul numérique sur des nombres relatifs. Ici vous voyez, on a des produits de nombres relatifs en haut, et des produits de nombres relatifs en bas. À la fois au numérateur et au dénominateur, comment on traite ce genre de cas ? On pourrait se dire qu'en termes de priorités, le numérateur, il faut le voir comme s'il y avait des parenthèses, et des parenthèses au dénominateur. Donc il faut que je traite tout le calcul ici, tout le calcul là, avant de pouvoir diviser.
Mais si je fais ça, regardez ce qui se passe : je vais avoir des grands nombres ici. Je vais faire \(6 \times (-2)\), ça fait \(-12\). Je le fais fois \(-7\). Et après je fais fois \(3\). Je peux faire aussi en même temps \(-7 \times 3\), ça va faire un truc négatif parce que ça on connaît les règles, ça fait \(-21\). Et \(-7 \times 6\), ça fait \(-42\). Et là je continue ce calcul, ça fait un truc qui est de l'ordre de... je fais dix fois ça fait \(210\), deux fois ça fait \(42\), donc il y a un truc qui va être de l'ordre de \(252\). Je vais m'arrêter là, parce que ce n'est pas le but de faire ça. Moins par moins ça fait positif, et donc je sais que l'ensemble va être négatif.
Comment simplifier une fraction composée de multiplications ?
Pourquoi je ne vais pas continuer ce calcul comme ça ? Parce qu'en fait, vous allez voir avec les fractions, on va vouloir les simplifier. Si vous n'avez pas de calculatrice pour vous faire ce truc-là, il vous faut décomposer en facteurs. En fait, décomposer en facteurs, c'est ce qu'on avait à la base. Donc ça ne sert à rien de tout multiplier comme ça, pour ensuite redécomposer pour voir quels sont les facteurs communs entre le haut et le bas. Je vous fais un petit aperçu de ce qu'on va voir avec les fractions et les simplifications.
Si j'ai \(\frac{a \times b \times c \times d}{e \times a \times b}\). Et bien là je peux simplifier. Attention, il faut vraiment que ce soit des produits. Le piège souvent, c'est qu'il y a des plus, et quand il y a un plus, on simplifie quand même. Non, il faut vraiment qu'il y ait un produit ici, et un produit ici. Et quand j'ai que des facteurs, là je peux simplifier le \(b\) avec le \(b\), et le \(a\) avec le \(a\). Et là, il me reste plus que \(\frac{c \times d}{e}\). C'est exactement ce qu'on va faire ici. Certains ont dû se dire depuis le début : « Mais qu'est-ce qu'il fait ? Pourquoi il s'embête à faire ça alors qu'il y a une simplification à faire ? » Et on va la faire parce qu'on ne va pas s'embêter à recomposer tout.
Comment appliquer la simplification sur un calcul de fraction ?
On voit directement que j'ai un \(6\) et un \(6\), donc on peut les barrer. Parce que je n'ai que des produits, faites attention à ça. Ensuite j'ai \(-7\) et \(-7\), on peut les barrer aussi. En bas je n'ai plus rien, donc ne mettez pas zéro, il faut le voir comme s'il restait un \(1\) ici. On ne met surtout pas divisé par zéro, en maths on ne peut pas faire ça. Donc il me reste tout simplement \(-2 \times 3\). Et là, c'est un truc tout simple. Il faut faire juste attention au signe. Négatif fois positif ça fait négatif. Et \(2 \times 3\) ça fait \(6\). Donc j'ai \(-6\) en résultat.
Vous voyez cette petite simplification, on va le voir en profondeur après avec la décomposition des nombres aux numérateur et dénominateur pour pouvoir simplifier les fractions. Donc ça va être la compétence sur la simplification de fraction et ça c'est super important à maîtriser. D'où l'importance du premier chapitre sur les nombres entiers, sur la divisibilité, sur les nombres premiers. Je vous laisse faire des exercices dans ce style, et nous on se voit sur une dernière vidéo avec cette fois-ci, justement, des sommes, et on va voir qu'on ne va pas aller aussi vite.
