6. Puissance : notation scientifique
À quoi sert la notation scientifique en mathématiques et en physique ?
On continue dans le chapitre des calculs numériques, cette fois-ci avec l'écriture scientifique ou la notation scientifique. On voit ça juste après les chapitres sur les puissances. N'hésitez pas à revenir un petit peu avant sur les vidéos des puissances avant d'aborder ce sujet, parce qu'on va voir que ça a un lien direct avec les puissances, des puissances de dix en l'occurrence. Avant de vous donner l'expression du cours de la notation scientifique, je vais commencer d'abord par vous donner quelques exemples.
Par exemple, la vitesse de la lumière. Certains d'entre vous savent que c'est \( 300 000 \) km/s et je vais même l'exprimer en m/s. Pour passer de kilomètres à mètres, je dois multiplier par \( 1 000 \). Vous commencez à voir des chiffres un peu longs. Donc là, c'est \( 300 \) millions de mètres par seconde. C'est pour ça que c'est une notation scientifique qu'on va voir, parce que ça s'apporte beaucoup dans tout ce qui est la physique, la physique-chimie par exemple, donc tous les éléments très petits, et aussi les éléments très grands.
La vitesse de la lumière, ça va très, très vite, c'est ce qu'on observe de plus rapide. Dans le monde physique avec la lumière, c'est le truc le plus rapide qu'on aura. On voit déjà qu'en m/s ça commence à être un peu long, mais on peut l'écrire. Après, vous avez des choses beaucoup plus grandes, qui sont les distances par exemple entre plusieurs galaxies, qui sont là des mesures en kilomètres qui sont très longues, on va parler d'années-lumière. Plus on va avancer dans des calculs, plus ça va être très compliqué d'utiliser toujours des nombres avec les unités comme ça à rallonge.
Comment écrire un très grand nombre en notation scientifique ?
Plutôt que d'écrire \( 300 \) millions, l'écriture scientifique va s'écrire \( 3 \times 10^8 \) m/s. C'est pour synthétiser des nombres très grands ou des nombres très petits. Par exemple, si je vous prends le noyau de l'hydrogène, qui est l'atome le plus petit, son noyau fait \( 1,68 \times 10^{-15} \) m. C'est à la fois pour les grandeurs très grandes et pour à la fois les grandeurs très petites. Vous voyez que quand c'est très petit, ils vont avoir une puissance négative, et quand c'est très grand, on aura une puissance positive.
On peut analyser déjà un petit peu pour commencer à comprendre pourquoi c'est des puissances de dix, parce que c'est quand on a des zéros comme ça qui se répètent, ou pas. Si je prends juste l'exemple de la vitesse de la lumière, vous voyez bien, j'ai bien utilisé juste le premier chiffre de mon nombre, qui est au niveau des centaines de millions, et après j'ai remplacé tous mes zéros par un \( 10^8 \). Regardez, j'ai un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit zéros.
C'est le nombre de fois en fait que je décale. J'aurais pu mettre une virgule zéro, j'ai le droit, je peux le mettre en décimal comme ça avec des virgule zéro, ça ne change rien. Et c'est le nombre de fois où j'ai décalé ma virgule : un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept et huit. C'est le nombre de fois qu'il faut compter que je décale ma virgule pour arriver jusqu'au \( 3 \). Donc je multiplie par \( 10^8 \) parce que j'ai enlevé tout ce qui est dizaines, centaines, millions.
Comment passer d'une écriture scientifique à un nombre décimal ?
Si par exemple je prends \( 2,15 \times 10^{-4} \). Je prends mon \( 2,15 \) et j'enlève la virgule, je me place où il y avait la virgule normalement, juste après le \( 2 \). Cette fois-ci, vu que c'est une puissance négative, pour aller de la puissance négative vers le nombre décimal, je la décale vers la gauche parce que c'est négatif. Je pars de là, je fais un, deux, trois, et quatre. J'aurai la virgule ici, et je mets des zéros à la place de tous mes petits points.
Là, il n'y a plus la virgule au niveau du \( 2 \) et ça fait \( 0,000215 \). Ça, c'est juste une introduction un petit peu aux écritures scientifiques. Maintenant, je vais vous mettre un petit peu la formule générale qu'il faut bien se noter sur une fiche.
Quelle est la formule de la notation scientifique au collège ?
Gardez bien en tête qu'en fait, c'est des notations qu'on utilise surtout en physique-chimie, en SVT, en astrophysique, dès qu'il y a des nombres qui sont très grands. Pour résumer, la notation scientifique, c'est un nombre qui multiplie une puissance de dix, avec une puissance de dix qui est positive ou négative, on se rappelle. Ce nombre par contre, ce n'est pas n'importe lequel.
C'est un seul nombre avant la virgule, donc c'est un nombre décimal, c'est-à-dire un nombre à virgule, mais il faut qu'il soit compris entre \( 1 \), il peut être égal à \( 1 \), et \( 10 \). Par contre, il faut qu'il soit inférieur à \( 10 \) parce que si c'est \( 10 \), on multiplie \( 10 \) par une puissance de dix, on le ramène dans la puissance. Il faut forcément que ce soit compris entre \( 1 \) et plus petit que \( 10 \), donc \( 1 \le a < 10 \).
Et pour la puissance, la condition, c'est qu'il faut que ce soit un entier. Donc \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \), \( 5 \), mais ça peut être aussi relatif, c'est-à-dire que ça peut être aussi négatif. Ça peut être des \( -1 \), \( -2 \), \( -3 \). C'est des entiers relatifs. Donc on se rappelle, quand c'est positif, ça va être un grand nombre, quand c'est négatif, ça va être un tout petit nombre, plus petit que \( 1 \).
Comment savoir si un nombre est écrit en notation scientifique ?
Les exercices juste à côté, ça va être juste de reconnaître des notations scientifiques. Est-ce que c'est une notation scientifique par exemple, si je vous mets \( 1,25 \times 10^5 \) ? Un point ou un signe multiplié, c'est pareil, vous vous rappelez. Est-ce que c'est une écriture scientifique ? Est-ce que \( 12,5 \times 10^3 \) c'est une écriture scientifique ? Est-ce que \( 0,17 \times 10^{-5} \) c'est une écriture scientifique ?
Ça, vous pouvez me le mettre en commentaires, mais c'est surtout pour faire des exercices d'entraînement. Sur les prochains exemples, on va vraiment faire des exercices d'écriture scientifique, passer d'un grand nombre à une notation scientifique, d'un tout petit nombre à une notation scientifique, des produits de notation scientifique, comment on fait ça, etc.
Comment passer d'un grand nombre entier à l'écriture scientifique ?
Tout de suite, on passe des nombres entiers ou décimaux en écriture scientifique. Ici on a un entier qui est \( 1 200 000 \). On a vu dans la partie d'avant comment écrire un nombre sous une forme de notation scientifique. On se rappelle que c'est un nombre décimal compris entre \( 1 \) et \( 10 \), plus petit que \( 10 \), multiplié par une puissance \( 10 \), donc \( 10 \) puissance un entier positif ou un entier négatif.
On se rappelle que quand j'ai un grand nombre comme ça, un million, je vais avoir un truc qui est plutôt positif. La méthode dans ces situations-là, c'est que je prends ma virgule là, qui est un peu imaginaire parce que je n'en ai pas, mais je peux toujours ajouter un virgule zéro comme ça par exemple, et je compte le nombre de fois où je la décale pour arriver jusqu'à un nombre compris entre \( 1 \) et \( 10 \). Donc là ça va être \( 1,2 \).
Comment je fais pour passer de \( 1 200 000 \) à \( 1,2 \) ? Il faut que je le multiplie par un, deux, trois, quatre, cinq, six : six fois \( 10 \), donc c'est \( 10^6 \). Ça, c'est l'écriture scientifique de ce nombre-là. Rappelez-vous, quand on a un grand nombre supérieur à \( 1 \), supérieur à \( 10 \) même, je compte le nombre de fois où je décale la virgule pour arriver au chiffre qui est tout seul. Attention, il ne faut pas que ce soit un zéro, il ne faut pas que ce soit supérieur à \( 10 \), il faut que ce soit entre \( 1 \) et \( 10 \). Donc là j'ai \( 1,2 \), c'est bien compris entre \( 1 \) et \( 10 \).
Comment transformer un petit nombre décimal en notation scientifique ?
On se fait celui où on est plus petit que \( 1 \). On a \( 0,007 \), donc là ça va être le chemin inverse. Ça va être combien de fois je décale la virgule pour arriver jusqu'au premier chiffre significatif ici qui est \( 7 \). Je vais avoir \( 7 \times 10 \) quelque chose déjà. Je pense qu'on est assez d'accord sur ça, \( 7 \) est bien compris entre \( 1 \) et \( 10 \). Donc je la décale : un, deux, trois, trois fois.
Je vais avoir, attention, c'est une puissance négative parce que j'ai un nombre plus petit que \( 1 \). \( 0,007 \), on peut se dire aussi que c'est \( 7 \times 10^{-3} \). On a vu les puissances avant, on a vu que les puissances négatives, quand j'ai \( a^{-n} \), c'est aussi \( \frac{1}{a^n} \). Donc ici, \( 10^{-3} \) on pourrait dire que c'est aussi \( \frac{1}{10^3} \). C'est bien \( 7 \) qui est divisé par \( 1 000 \), donc c'est pour ça qu'on a une puissance négative.
C'est juste pour vous montrer et recontextualiser pourquoi on a des puissances négatives quand on a des nombres plus petits que \( 1 \). Voilà, c'est deux cas très simples. Faites des exercices avec des cas un peu plus compliqués, mais si vous avez compris cette petite formule, normalement ça devrait se dérouler correctement. Entraînez-vous, attention à comment je décale. Est-ce que je compte jusqu'ici ? Est-ce que je compte jusqu'avant ? La méthode c'est celle-là, normalement, si vous maîtrisez le coup du nombre plus grand que \( 10 \) et le coup du nombre plus petit que \( 1 \), ça devrait rouler.
