8. Fraction : simplifier
Comment simplifier une fraction de manière irréductible en mathématiques ?
Commençons les calculs numériques avec les fractions. Nous allons d'abord voir comment simplifier des fractions, car à chaque fois que vous avez des calculs sur les fractions, il faut toujours, à la fin, obtenir la fraction la plus irréductible possible. Il faut donc la simplifier. Pour cela, on peut utiliser les tables de multiplication pour s'en sortir très facilement sur des cas simples. Mais pour des nombres plus importants, comme des centaines ou des milliers, il faudra procéder par étapes. Avant de commencer, il est essentiel d'avoir en tête la règle fondamentale pour simplifier une fraction. On peut simplifier une fraction uniquement quand on a, au numérateur et au dénominateur, des facteurs en commun. J'insiste bien sur le mot « facteur ».
Par exemple, si j'ai l'expression \[ \frac{a \times b \times c}{a \times d} \], j'ai le facteur \(a\) qui est présent en haut et en bas, au numérateur et au dénominateur, et l'expression est bien factorisée. Il ne faut surtout pas confondre cela avec l'erreur très classique que je retrouve même au lycée : avec l'expression \[ \frac{a + b}{a} \], on serait tenté de barrer les facteurs \(a\) et de simplifier. C'est absolument interdit ! C'est vraiment la chose à retenir pour ne pas faire d'erreur : il faut impérativement que l'expression soit sous forme factorisée pour pouvoir simplifier les termes communs en haut et en bas.
Comment utiliser les tables de multiplication pour simplifier une fraction simple ?
Prenons un premier exemple avec la fraction \[ A = \frac{42}{54} \]. C'est un cas très simple où l'on s'en sort grâce aux tables de multiplication. Avec un peu de calcul mental, on sait que \(42\) s'écrit \[ 6 \times 7 \]. Pour le dénominateur \(54\), en connaissant ses tables, on sait que \(6 \times 10 = 60\), et que \(6 \times 9 = 54\). On peut donc écrire le dénominateur sous la forme \[ 6 \times 9 \]. Nous avons bien un produit en haut et un produit en bas, sans aucun signe d'addition ou de soustraction. Nous sommes bien dans la configuration requise pour simplifier.
On peut ainsi barrer le facteur \(6\) qui est commun au numérateur et au dénominateur. Il nous reste alors la fraction \[ \frac{7}{9} \]. Pour vérifier si on a terminé, on observe que \(7\) est un nombre premier, il ne peut donc pas être décomposé. Quant à \(9\), il se décompose en \[ 3 \times 3 \]. Il n'y a donc aucun facteur commun entre \(7\) et \(9\), on ne peut pas simplifier davantage. La fraction est simplifiée au maximum, on a terminé pour cet exemple. Les élèves qui sont à l'aise en calcul mental s'en sortiront facilement sur ces fractions simples, mais pour d'autres, cela nécessitera de passer par la décomposition en facteurs premiers.
Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers au collège ?
Pour le même exemple \[ A = \frac{42}{54} \], la vraie méthode rigoureuse, et souvent la plus longue, consiste à décomposer les nombres en produit de facteurs premiers. Il faut maîtriser tout le chapitre sur les nombres entiers, la division euclidienne et les critères de divisibilité, car ce sont des compétences très importantes pour simplifier des fractions. Les premiers nombres premiers à connaître par cœur sont \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), etc. On va donc essayer de décomposer notre fraction en utilisant ces nombres de manière ordonnée.
Pour le numérateur \(42\), on remarque qu'il est pair, c'est donc \[ 2 \times 21 \]. Pour le dénominateur \(54\), c'est aussi un nombre pair, on peut l'écrire \[ 2 \times 27 \]. À cette étape, on peut simplifier par \(2\), et il nous reste \[ \frac{21}{27} \]. On ne peut plus diviser par \(2\) car les nombres ne se terminent pas par un chiffre pair. On teste alors la divisibilité par \(3\). Pour rappel, le critère de divisibilité par \(3\) consiste à faire la somme des chiffres. Pour \(21\), \(2 + 1 = 3\), qui est bien divisible par \(3\). Pour \(27\), \(2 + 7 = 9\), qui est aussi divisible par \(3\). On écrit donc \(21\) sous la forme \[ 3 \times 7 \] et \(27\) sous la forme \[ 3 \times 9 \]. On simplifie par le facteur \(3\) en haut et en bas, et on retrouve bien le résultat de \[ \frac{7}{9} \].
Comment simplifier une fraction avec des grands nombres et des signes négatifs ?
Passons maintenant à un cas plus complexe, avec de grands nombres que l'on ne peut pas simplifier de tête avec les tables de multiplication. Soit la fraction \[ A = \frac{-2418}{-1488} \]. Avant toute chose, on observe qu'il y a un signe négatif au numérateur et au dénominateur. Un petit rappel sur les quotients de nombres relatifs : un nombre négatif divisé par un nombre négatif donne un résultat positif. La première étape consiste donc à s'enlever cette épine du pied en retirant les signes, ce qui nous donne la fraction positive \[ \frac{2418}{1488} \].
Il va falloir utiliser la liste de nos nombres premiers : \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), etc. Soyons méthodiques et commençons dans l'ordre en regardant si les nombres sont divisibles par \(2\). Le numérateur se termine par \(8\) et le dénominateur par \(8\), ils sont donc pairs. On écrit \(2418\) sous la forme d'un produit. Si vous n'y arrivez pas de tête, posez la division euclidienne par \(2\) au brouillon. De tête, on trouve \[ 2418 = 2 \times 1209 \]. Pour le dénominateur, la moitié de \(1488\) est \(744\), on écrit donc \[ 2 \times 744 \]. On a un facteur \(2\) en commun, on le simplifie pour obtenir \[ \frac{1209}{744} \].
Comment utiliser les critères de divisibilité par 3 sur une fraction complexe ?
Nous avons maintenant la fraction \[ \frac{1209}{744} \]. On continue de chercher les facteurs premiers. On voit que \(1209\) ne se termine pas par un chiffre pair, on ne peut donc plus le diviser par \(2\). Il est inutile de continuer à chercher à diviser par \(2\) au dénominateur, car nous cherchons uniquement des facteurs communs pour simplifier entre le haut et le bas de la fraction. On passe donc au nombre premier suivant : \(3\). On utilise le critère de divisibilité en faisant la somme des chiffres. Pour le numérateur, \(1 + 2 + 0 + 9 = 12\), qui est divisible par \(3\). Pour le dénominateur, \(7 + 4 + 4 = 15\), qui est également divisible par \(3\). Les deux nombres sont divisibles par \(3\).
On décompose donc en produit de \(3\). Pour \(1209\), de tête ou en posant la division, on trouve que \(1209\) divisé par \(3\) fait \(403\). On a donc \[ 3 \times 403 \]. Pour \(744\), on divise par \(3\) : dans \(7\), il y a deux fois \(3\) (reste \(1\)), avec le \(4\) cela fait \(14\), il y a quatre fois \(3\) (reste \(2\)), avec le dernier \(4\) cela fait \(24\), il y a huit fois \(3\). Ce qui nous donne \[ 3 \times 248 \]. On peut donc simplifier par le facteur \(3\) commun en haut et en bas. Il nous reste la fraction \[ \frac{403}{248} \].
Comment trouver le bon diviseur premier pour rendre une fraction irréductible ?
On se retrouve avec l'expression \[ \frac{403}{248} \]. On vérifie si on peut encore diviser par \(3\) : \(4 + 0 + 3 = 7\), ce n'est pas divisible par \(3\), on passe à la suite. On ne peut diviser ni par \(5\), ni par \(7\), ni par \(11\). On teste alors avec \(13\). En posant la division euclidienne de \(403\) par \(13\), on trouve que dans \(40\), il y a trois fois \(13\) (\(39\)), il reste \(1\). On abaisse le \(3\), ce qui fait \(13\). Il y a une fois \(13\) dans \(13\), avec un reste de \(0\). Le numérateur se décompose donc précisément en \[ 13 \times 31 \].
Pour le dénominateur \(248\), on doit se demander s'il est un multiple de \(13\) ou de \(31\), car ce sont nos seuls espoirs d'avoir un facteur commun avec le numérateur. Si l'on teste \(248\) divisé par \(13\), on n'obtient pas un nombre entier, il y aura un reste. En revanche, si on pose la division de \(248\) par \(31\), on trouve \(8\) avec un reste de \(0\). Le dénominateur est donc égal à \[ 8 \times 31 \]. Formidable, on a trouvé notre fameux facteur commun ! On simplifie par le facteur \(31\) en haut et en bas, et il ne reste plus que la fraction \[ \frac{13}{8} \]. Comme \(8\) est composé uniquement de facteurs \(2\) (\(2 \times 2 \times 2\)) et que \(13\) est un nombre premier, on s'arrête là. La fraction est désormais totalement irréductible.
Pourquoi est-il indispensable de savoir simplifier des fractions sans calculatrice ?
Même si cette méthode de décomposition en facteurs premiers peut paraître laborieuse pour de très grands nombres, il est capital de s'y entraîner et de la comprendre. Bien sûr, vous avez tous une calculatrice à disposition qui peut simplifier une fraction instantanément. Cependant, maîtriser ces étapes à la main est fondamental pour développer vos capacités d'analyse et de calcul mental, qui vous serviront dans absolument tous les chapitres de mathématiques.
Plus important encore, ces compétences sont primordiales pour aborder le calcul littéral. Lorsque vous serez confrontés à des équations ou des expressions contenant des inconnues (des \(x\), des lettres diverses), la calculatrice ne pourra plus vous donner les facteurs en commun ni faire la factorisation à votre place. Dès qu'il y aura des lettres, il faudra appliquer exactement la même logique de recherche de facteurs communs que celle que nous venons de voir sur des nombres entiers. C'est pourquoi maîtriser parfaitement ce calcul numérique est une base incontournable pour réussir par la suite en algèbre.
