10. Fraction : produit

Comment multiplier deux fractions entre elles ?

On se met sur les produits de fractions. C'est plutôt simple, on est sur la première vidéo sur les fractions en produit. Qu'est-ce qui se passe quand j'ai une fraction qui multiplie une fraction ? La chose à retenir dans cette situation-là, c'est quand j'ai \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \), j'ai le numérateur qui multiplie le numérateur et le dénominateur qui multiplie le dénominateur. Le haut multiplie le haut, le bas multiplie le bas.

C'est beaucoup plus simple que l'addition qu'on a vue juste avant parce qu'avec l'addition, il fallait absolument, pour pouvoir faire la somme, mettre au même dénominateur, donc faire fois \( d \) ici et fois \( b \) ici. Là, on n'a pas besoin de se soucier de ça, on peut aller directement dans le calcul. On commence par un truc assez simple, \( \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} \).

On se pose toujours la question : est-ce que je peux simplifier ? Les simplifications, vous vous en rappelez, c'est toujours quand on a des facteurs communs en haut et en bas. Là, par exemple, je peux simplifier par le \( a \) quand on a des produits partout et pas de somme, attention à ça. On pourrait décomposer peut-être le 4 en \( 2 \times 2 \) mais on voit qu'en haut on n'a que des nombres premiers. Il n'y a pas de 3 en bas donc on va tout simplement faire l'opération.

Voilà, tout simplement, tranquillement pour commencer, sans s'énerver.

Comment multiplier un nombre entier par une fraction ?

On continue les calculs de produits de fractions. Ici, on a un nombre qui multiplie une fraction. On a vu quand on a une fraction qui multiplie une fraction : numérateur fois numérateur sur dénominateur fois dénominateur. Ici, on n'a pas de dénominateur. Souvent ça bloque, il y a des élèves qui se disent : mais attendez, je fais \( 5 \times 7 \) et \( 5 \times 15 \) en bas ? Non, un nombre entier, il faut toujours se dire qu'on peut le mettre sur 1.

Comme on peut dire qu'il peut être multiplié par 1, comme on peut dire qu'il a une puissance 1. Dans le cas des fractions, on peut mettre sur 1 et ça débloque tout de suite les gens. Je vais faire exprès le calcul un peu bêtement. \( 7 \times 5 \) ça fait 35 et en bas j'ai \( 1 \times 15 \), ça fait 15.

Pourquoi faut-il simplifier avant de calculer le produit de deux fractions ?

Pourquoi je dis un peu bêtement ? Parce qu'on aurait pu être plus malin en essayant de regarder si on ne peut pas simplifier ici et ici. J'ai un 5 et un 7, mais ici j'ai un 15. 15 c'est aussi \( 3 \times 5 \). On est bien sur les tables de multiplication, ça va très vite. On pourrait simplifier, mais plutôt que ça j'aurais pu aller directement dire que c'est \( 5 \times 7 \) en haut, et \( 1 \times 15 \)... bon le 1 fois on aurait pu le laisser tomber, mais \( 1 \times 3 \times 5 \).

On se rappelle qu'on peut simplifier quand on n'a que des produits en haut, que des produits en bas. Facteur commun, ça se simplifie entre le haut et le bas. Du coup, il me reste tout simplement \( \frac{7}{3} \).

La simplification elle se fait comme ça logiquement, parce que je simplifie en cours de route. Alors qu'ici, vous tombez sur un résultat avec des grands nombres et après il vous faut le réduire derrière. Là, pour le simplifier, il aurait fallu me dire : qu'est-ce que j'ai en commun comme facteur entre le haut et le bas ? Je finis par 5, petit critère de divisibilité, on s'en rappelle. Ça me fait \( \frac{5 \times 7}{5 \times 3} \). On y retombe, mais on se fait des lignes de calcul pour rien, autant aller directement sur ça. On pense à décomposer quand on peut et comme ça on tombe plus rapidement sur le bon résultat. Entraînez-vous à ça avec un nombre entier qui multiplie une fraction, pour bien vous rentrer en tête qu'on multiplie juste le numérateur finalement, le dénominateur reste tout seul.