10. Nombres premiers entre eux
Quelle est la différence entre un nombre premier et des nombres premiers entre eux ?
On s'attaque à cette nouvelle question : on a deux nombres, 14 et 27, et on nous demande s'ils sont premiers entre eux. Déjà, on se rappelle ce qu'est un nombre premier. Un nombre premier est divisible uniquement par 1 et par lui-même. Si je prends 7, il n'est pas divisible par 2, ni par 3, alors que 6 est divisible par 2 et 3 par exemple. Donc, 6 n'est pas un nombre premier, 7 est un nombre premier. Alors là, c'est différent, on a deux nombres et on ne cherche pas à savoir si ce sont des nombres premiers, on cherche à savoir s'ils sont premiers entre eux.
La définition de ça, si je prends par exemple deux nombres que je vais appeler généralement \(a\) et \(b\), ils sont premiers entre eux si 1 est le seul diviseur commun de ces deux nombres. Je vous l'écris comme ça pour vous le figer, c'est un peu votre leçon, votre définition de cours, il faut bien que ça soit clair. On va faire quoi ? On va chercher tous les diviseurs communs. Ce sont des compétences qu'on a déjà vues avant, on sait chercher maintenant tous les diviseurs d'un nombre et les diviseurs communs.
On va chercher tous les diviseurs de 14, puis tous les diviseurs de 27. On va regarder, on va comparer les deux colonnes et voir s'il y a des diviseurs en commun. S'il y a des diviseurs communs autres que 1, ils ne sont pas premiers entre eux. S'il n'y a que 1, forcément 1 est diviseur de tout nombre, donc il y aura toujours 1, il n'y a pas de problème. S'il n'y a que 1 qui est diviseur de 14 et 27 en commun, eh bien 14 et 27 seront premiers entre eux.
Comment utiliser la racine carrée pour trouver les diviseurs de 14 et 27 ?
Je commence avec 14, et après on va se faire 27. Vous vous en rappelez, on va chercher avant ça les racines carrées pour savoir jusqu'où on va. Pour la racine carrée de 14, je teste : j'ai 3, \(3^2\) ça fait 9, et j'ai 4, \(4^2\) ça fait 16. C'est pile entre 3 et 4, donc je mets environ 3 virgule quelque chose. À la calculatrice vous pouvez taper et être plus précis, il n'y a pas de problème, mais finalement on s'en moque un petit peu de la partie décimale, nous on veut juste la partie entière. Je vais donc essayer avec 1, 2 et 3 pour voir si ce sont des diviseurs.
Avec 27, je vais jusqu'à normalement... \(5^2\) ça fait 25, \(6^2\) ça fait 36, donc on est entre 5 et 6. J'ai 5 virgule quelque chose, mais là aussi peu importe. Je sais que je vais m'arrêter à 5, mais finalement je vais aussi m'arrêter qu'à 3. Je peux aller jusqu'à 5, mais vu que pour les diviseurs de 14 on va jusqu'à 3, en fait ça ne sert à rien d'aller jusqu'à 5 pour vérifier les diviseurs en commun. On peut donc essayer avec 1, 2 et 3.
Le 1, ça marche toujours avec 14 parce que \(1 \times 14\) ça fait bien 14, donc c'est bien 1 et 14 qui sont diviseurs de 14, pas de surprise. Pareil de l'autre côté, 1 et 27 sont des diviseurs de 27. Ensuite, on va regarder avec 2. On se rappelle des critères de divisibilité, 14 finit par 4 donc c'est bien divisible par 2. On a 7 car \(2 \times 7\) fait 14. Par contre du côté de 27, 2 n'y est pas car le nombre est impair.
Comment vérifier les critères de divisibilité pour conclure si deux nombres sont premiers entre eux ?
Je teste avec 3. Pour 14, on fait \(1 + 4\), ce n'est pas un multiple de 3, ce n'est pas divisible par 3, donc pour 3 il n'y a rien. Pour 27, il y a 3, car vous connaissez vos tables de multiplication et vous savez que \(3 \times 9\) ça fait bien 27. Mais finalement on s'en moque aussi parce que 14 n'est pas divisible par 3, même si 27 est divisible par 3. De même, 14 est divisible par 2 mais pas 27. Il n'y a pas de correspondance entre les deux listes de diviseurs.
Finalement, le seul diviseur commun, bien évidemment il y a 14 et 27 dans leurs listes respectives mais ils sont différents. Le seul diviseur commun, c'est 1. Là, on respecte le critère de deux nombres qui sont premiers entre eux, c'est-à-dire d'avoir uniquement 1 en commun. C'est le cas pour nous. On peut donc écrire que 14 et 27 sont premiers entre eux.
Voilà la méthode, j'espère que c'est clair, entraînez-vous à faire des exercices. La difficulté ici, c'est toujours de trouver les diviseurs en fait. Une fois qu'on sait calculer les diviseurs, la moitié du chapitre sur les nombres entiers, vous savez le faire à peu près. Entraînez-vous à bien chercher les diviseurs et à chaque fois savoir ce que l'on cherche.
Comment prouver que 62 et 93 ne sont pas des nombres premiers entre eux en 3ème ?
On s'attaque à chercher si deux autres nombres sont premiers entre eux. Ici, c'est 62 et 93. Qu'est-ce que ça veut dire quand on prend deux nombres premiers entre eux, on voit que ce n'est pas tout à fait la même chose que de chercher si un nombre tout seul est premier. Je vous le rappelle rapidement : on va chercher tous les diviseurs de 62, on va chercher tous les diviseurs de 93, et on va comparer ces diviseurs pour voir s'il y en a en commun. S'il n'y a que 1 qui est diviseur en commun, alors 62 et 93 sont premiers entre eux.
C'est parti, ce sont toujours les mêmes compétences. On va chercher d'abord les racines carrées pour savoir jusqu'où on va s'arrêter en cherchant tous les diviseurs. Je connais un petit peu mes carrés, je sais que \(8 \times 8\) par exemple ça fait 64, et c'est \(7 \times 7\) qui fait 49. Je vais être juste avant 8, ça va être 7 virgule quelque chose, donc je sais que je vais m'arrêter à 7 pour le nombre 62.
Pour \(\sqrt{93}\), j'ai le carré de 9 qui fait 81 et après j'ai le carré de 10 qui fait 100. Je vais être entre 9 et 10, je vais être à 9 virgule quelque chose. Finalement je vais m'arrêter à 7 pour les deux, parce que ça ne sert à rien de tester 8 et 9 pour 93 sachant que ça ne va pas être un diviseur de 62 dans tous les cas. On limite ainsi les calculs inutiles pour la comparaison.
Pourquoi faut-il s'arrêter de calculer les diviseurs dès qu'on trouve un nombre commun ?
On commence toujours par 1, on sait que c'est toujours le diviseur en commun parce qu'il y est toujours. On a \(1 \times 62\) d'un côté et \(1 \times 93\) de l'autre. On peut faire les calculs en parallèle, mais vous pouvez les faire l'un après l'autre, c'est à vous de bien rédiger. On va commencer avec 2, on va passer à 3, 4, 5, jusqu'à 7. Pour 62, on va aller vite maintenant, on sait que c'est divisible par 2. Ça me fait 31, car \(31 \times 2\) ça fait 62. Pour 93, ce n'est pas divisible par 2 car c'est impair.
On passe à 3. Pour 62, on fait \(6 + 2\) ça fait 8, ce n'est pas un multiple de 3, il n'y a rien. Par contre pour 93, \(9 + 3\) ça fait 12, c'est divisible par 3. Qu'est-ce qui multiplie 3 et tombe sur 93 ? Vous faites \(93 \div 3\) par exemple. La calculatrice va assez vite, mais même de tête on fait \(3 \times 31\) ça fait bien 93. Et là, déjà on voit quelque chose d'important dans nos deux colonnes.
Est-ce que ça vaut la peine de continuer, sachant qu'on a un diviseur en commun autre que 1 ? Forcément il y avait le 1, mais là il y a un 31. Ça ne sert à rien d'aller plus loin. On pourrait aller plus loin et montrer tous les autres diviseurs, mais la question n'est pas de trouver tous les diviseurs, c'est de savoir si 62 et 93 sont premiers entre eux. Non, 62 et 93 ne sont pas premiers entre eux. Pourquoi ? Parce qu'il y a un autre diviseur commun que 1, qui est 31. L'exercice est donc terminé dès qu'on trouve ce diviseur commun.
