8. Nombre premier

Qu'est-ce qu'un nombre premier en 3ème ?

Avant de s'attaquer aux exercices de nombres premiers, il faut bien définir ce que c'est un nombre premier. Avant de définir le nombre premier, je veux qu'on revienne sur l'égalité \(a = b \times q\). Pour bien comprendre d'où ça vient. On se rappelle, ça c'est les multiples et ça c'est les diviseurs.

La définition est très simple : un nombre premier n'a uniquement que deux diviseurs, qui est lui-même et 1. Donc ça s'écrit par exemple \(a = a \times 1\). C'est la seule chose qu'on pourra écrire. Par exemple 5. 5 c'est \(5 \times 1\). On peut dire bien évidemment \(2,5 \times 2\), sauf que 2,5 ce n'est pas un nombre entier. On est en arithmétique, on ne parle qu'avec des nombres entiers. Donc voilà la définition des nombres premiers. Je vous conseille d'apprendre quand même les premiers nombres premiers.

Pourquoi le nombre 1 n'est pas un nombre premier ?

Il y a d'ailleurs une petite blague avec le 1. Est-ce que 1 est un nombre premier ? 1 n'est pas un nombre premier parce que la seule chose qu'on peut écrire avec 1, c'est \(1 = 1 \times 1\). Sauf que 1 et 1 c'est le même nombre. Donc il n'y a pas deux diviseurs. Parce que ça aussi c'est important, c'est deux diviseurs. Donc dans la définition des nombres premiers, 1 ne fait pas partie des nombres premiers.

Ça commence à 2. Les premiers, vous pouvez vous les noter sur votre fiche si vous voulez : il y a 2, après il y a 3, il y a 5, parce que 4 c'est divisible par 2. 6 est divisible par 2 ou 3. Donc il y a 7. 8 et 9 ça ne marche pas. 10 ça ne marche pas. 11, ça y est. 13, etc. Vous avez 17, vous avez 23, vous en avez plein à apprendre. C'est surtout cette définition que vous devez apprendre par cœur.

Comment savoir si 13 est un nombre premier ?

Maintenant, à la question est-ce que 13 est un nombre premier ? Il faut se poser la question : est-ce que j'ai des diviseurs autre que 13 et 1 ? On a regardé tous les diviseurs communs entre deux nombres, on a regardé tous les diviseurs d'un seul nombre d'ailleurs. C'est un peu ce qu'on va faire là pour le justifier. Il y en a qui le connaissent par cœur, spoiler, que 13 est un nombre premier, il n'y a pas de diviseur hors que 13 et 1. Mais on va le faire avec les justifications.

Il y a 1 et 13, ça c'est sûr. Après 2, 13 ce n'est pas dans les critères de divisibilité de 2 parce que ça ne finit pas par 0, 2, 4, 6, 8. Donc 3 : \(1 + 3\), ça fait 4. 4 ce n'est pas un multiple de 3. On s'en rappelle, on s'arrête à la racine de 13. Racine de 13, en fait on allait déjà trop loin parce que c'est 3 virgule quelque chose. 4 au carré ça fait 16. Donc on n'a même pas besoin de faire le 4. On a vu que 2 et 3, avec les critères de divisibilité, ce n'étaient pas des diviseurs de 13. Donc 13, ses seuls diviseurs sont 1 et 13. Donc on peut dire que oui, c'est un nombre premier.

Comment savoir si 57 et 107 sont des nombres premiers ?

On cherche à savoir comment un nombre est premier ou pas. Aujourd'hui on a quoi ? On a 57 et 107. Est-ce que ces deux nombres sont premiers ? On peut revenir sur notre petite définition de base qui nous dit : un nombre premier, c'est un entier qui est divisible uniquement par deux entiers, 1 et lui-même.

Si je prends 7, je peux juste le décomposer en \(7 \times 1\). Par contre 6, je peux dire que c'est \(6 \times 1\), mais je peux dire aussi que c'est \(3 \times 2\). Donc là on n'est plus sur la petite définition qui nous dit qu'il faut absolument que ce soit 1 et lui-même. On ne sait pas forcément par cœur que 57 est un nombre premier ou pas, et pareil pour 107.

On va être méthodique. On va chercher tous les diviseurs. On teste avec 1, on teste avec 2 et cetera jusqu'à la racine de 57. La racine de 57, je sais que c'est environ... \(7 \times 7\) ça fait 49. Donc ça fait 7 virgule quelque chose. Ça sert à rien d'être plus précis que ça parce qu'on veut juste la partie entière. Pour 107, je vais m'arrêter à l'entier 10. Pourquoi ? Parce que \(10 \times 10\) ça fait 100, \(11 \times 11\) ça fait 121. On est entre les deux. Donc on est sûr qu'on va s'arrêter à 10 et ici à 7.

Ensuite les critères de divisibilité. On va déjà commencer par le 1. C'est sûr qu'il y est. \(1 \times 57\), ça fait 57. \(1 \times 107\), ça fait 107. Après on teste avec 2. Les deux là, ils ne sont pas pairs. Donc ce n'est pas divisible par 2. Donc ça ne va pas être divisible par 4, par 6, par 8, et cetera.

Le 3, il faut tester en faisant la somme de 5 et 7. Ça fait 12. 12 c'est bien divisible par 3. On peut s'aider de notre calculatrice. \(57 \div 3\), ça me donne 19. Je peux me noter 19. Ensuite, j'avais 4, ça ne marchait pas. 5 ça ne marche pas, ça ne finit pas par 0 et 5. 6 ça ne marche pas parce que ce n'est pas pair. Et on arrive au fameux 7. Quand je tape \(57 \div 7\), ça me fait 8 virgule quelque chose. Ce n'est pas un diviseur de 57. À partir du moment où j'avais 3 et 19, je peux dire non, ce n'est pas un nombre premier, parce qu'il fallait uniquement avoir 1 et 57 comme seuls diviseurs.

Avec 107, on peut reprendre. 2 ça ne marche pas. 3 ça ne marche pas, \(1 + 7\) ça fait 8. 4 ça ne marche pas. 6 ça ne va pas marcher, 8 ça ne va pas marcher. Il nous reste 5, ça ne marche pas. On peut tester avec 7. \(107 \div 7\), ça me fait 15 virgule des patates, et du coup je ne peux pas dire que c'est un diviseur de 107. Il me reste 9. 3 n'était pas un diviseur, donc 9 non plus. On arrive à 10. 10 ce n'est pas un diviseur de 107. Ici, oui, ça c'est un nombre premier. C'est bien de se le noter dans un coin de la tête.

Voilà la méthodologie pour savoir si un nombre est premier ou pas. C'est toujours utiliser les critères de divisibilité. Pour cette compétence, il faut absolument maîtriser la recherche de tous les diviseurs d'un nombre. À la fin, si vous n'avez plus que 1 et le nombre qui était cherché, comme 107, c'est comme ça qu'on arrive à voir si c'est un nombre premier ou pas.