1. Division euclidienne

Quels sont les mots de vocabulaire de la division euclidienne ?

On commence ce chapitre des nombres entiers avec la division euclidienne, que vous connaissez depuis un petit moment. On se rappelle, on a un nombre qui est le dividende, qui est divisé par un diviseur. Comment on note le quotient ? C'est un \(q\), et il va y avoir aussi le reste à la fin quand on fait notre calcul.

Sur le vocabulaire, on a donc le dividende, le diviseur, le reste et le quotient. Notez-vous bien cela sur votre fiche si ce n'est pas clair, il faut vraiment que le vocabulaire soit bien dans votre tête.

Comment trouver le quotient et le reste d'une division euclidienne ?

Faisons un cas d'application. Le but est de pouvoir répondre à la question : quel est le quotient et quel est le reste de la division euclidienne de \(17\) par \(3\) ?

Je mets mon \(17\) ici, et mon diviseur qui est \(3\). \(17\) divisé par \(3\), qu'est-ce qui se rapproche le plus ? C'est \(5\), parce que \(3 \times 5\) ça fait \(15\). Il me reste \(2\). J'ai fini, \(3 \times 5 = 15\), le reste c'est \(2\). Le quotient c'est \(5\) et le reste c'est \(2\).

Faites des petits exercices à côté sur ce genre de choses pour remettre un petit peu le pied à l'étrier avant de vous attaquer à des choses un peu plus complexes.

Quelle est la formule de l'égalité de la division euclidienne ?

Je vous rappelle que quand on a un nombre qui est divisé par un autre, celui qui est divisé s'appelle le dividende, et celui qui divise c'est le diviseur. On obtient le quotient, qui est un entier, et à la fin le reste, qui est un nombre entier qu'on ne peut pas diviser par le diviseur.

On va mettre cela sous forme d'égalité. Si \(a\) est divisé par \(b\), ce qui me donne le quotient \(q\) et un reste \(r\), je peux tout simplement écrire :

On multiplie \(b\) et \(q\), et on ajoute le reste, et on retombe sur le dividende. C'est l'égalité de la division euclidienne. Mettez cela sur une fiche si ce n'est pas compris, c'est l'égalité qui vient de la division euclidienne.

Comment écrire une division euclidienne sous forme d'égalité ?

Cherchons à mettre sous forme d'égalité la division euclidienne de \(124\) par \(3\). Je ne connais pas mon quotient et je ne connais pas mon reste, il faut donc que je fasse la division euclidienne.

Je pose \(124\) divisé par \(3\). Je prends \(12\), \(12\) divisé par \(3\) ça fait \(4\), ça fait bien \(12\). Il me reste \(4\). \(4\) divisé par \(3\), je ne peux mettre qu'un seul \(3\) là-dedans, il me reste \(1\).

Le quotient c'est \(41\) et le reste c'est \(1\). Donc l'égalité que je peux émettre, c'est finalement :

Si vous maîtrisez votre division euclidienne, pas de souci, vous avez juste à la reprendre dans ce sens-là et vous voyez bien qu'il est logique que \(3 \times 41 + 1\), on retombe sur notre dividende.