📝 Fiche résumée

Les Matrices : le calcul qui range l'information

Une matrice n'est rien d'autre qu'un tableau de nombres, mais ce tableau change la façon de poser les problèmes. Dès qu'on manipule plusieurs quantités liées entre elles, écrire les coefficients côte à côte permet de traiter d'un seul geste ce qui demandait autrement une ligne de calcul par inconnue. C'est ce qui fait des matrices un outil central en Terminale Maths Expertes, et bien au-delà : résolution de systèmes, suites couplées, graphes, chaînes de Markov, transformations géométriques, traitement d'images. Cette fiche de révision rassemble l'essentiel du chapitre sous une forme que l'on peut relire en quelques minutes avant un contrôle. Elle donne les définitions, les règles de calcul et les formules à connaître par cœur, mais elle ne remplace pas le cours complet : les démonstrations, les cas particuliers et les exercices d'application restent indispensables pour savoir quand et comment appliquer chaque résultat.

Lire et décrire une matrice

Taille, coefficients et notations

Une matrice se décrit d'abord par sa taille, toujours annoncée dans l'ordre lignes puis colonnes. Une matrice de taille 2 × 3 possède deux lignes et trois colonnes. C'est une convention, et c'est une convention qui se venge : l'inverser conduit immanquablement à des produits impossibles. Chaque nombre du tableau est un coefficient, repéré par deux indices dans le même ordre. Le coefficient noté a₂₃ est celui qui se trouve à l'intersection de la deuxième ligne et de la troisième colonne.

Les formes particulières

Certaines tailles portent un nom parce qu'elles reviennent sans cesse. Une matrice ligne a une seule ligne, une matrice colonne une seule colonne, et une matrice carrée autant de lignes que de colonnes. Cette dernière est la seule pour laquelle les questions d'inverse et de puissance ont un sens, ce qui explique la place qu'elle occupe dans le chapitre.

Deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et que tous leurs coefficients coïncident, un à un. L'égalité de deux matrices équivaut donc à un système d'égalités numériques, ce qui est souvent la clé pour transformer une équation matricielle en équations ordinaires.

Les opérations élémentaires

Addition et multiplication par un réel

L'addition se fait case par case, et elle exige que les deux matrices aient exactement la même taille. Il n'existe aucune façon d'additionner une matrice 2 × 3 et une matrice 3 × 2 : l'opération n'est tout simplement pas définie. La multiplication par un nombre réel suit la même logique de proximité : on multiplie chaque coefficient par ce nombre, sans condition de taille. Ces deux opérations se comportent comme on l'espère, avec la commutativité et l'associativité habituelles, ce qui permet de manipuler les sommes de matrices comme des sommes ordinaires.

La transposition

Transposer une matrice consiste à échanger les lignes et les colonnes. La première ligne devient la première colonne, la deuxième ligne la deuxième colonne, et ainsi de suite. En termes de coefficients, le coefficient d'indices i, j de la transposée est le coefficient d'indices j, i de la matrice de départ. Une matrice de taille 2 × 3 a donc une transposée de taille 3 × 2.

La transposition possède une propriété qui surprend souvent la première fois : la transposée d'un produit renverse l'ordre des facteurs. C'est une règle à retenir telle quelle, et elle annonce un comportement analogue pour l'inverse.

Le produit matriciel

Quand le produit existe-t-il ?

Le produit de deux matrices n'est possible que si le nombre de colonnes de la première égale le nombre de lignes de la seconde. Une matrice de taille m × p multipliée par une matrice de taille p × q donne une matrice de taille m × q. Les deux dimensions intérieures doivent se correspondre et disparaissent ; les dimensions extérieures donnent la taille du résultat. Vérifier cette compatibilité avant de se lancer dans le calcul économise beaucoup de temps perdu.

Ligne par colonne

Le calcul lui-même se fait ligne par colonne. Le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j du produit s'obtient en parcourant simultanément la ligne i de la première matrice et la colonne j de la seconde, en multipliant les termes deux à deux et en additionnant le tout. Il est vivement conseillé de poser le calcul en désignant à voix haute la ligne et la colonne concernées : c'est la seule façon fiable de ne pas se perdre dans les indices.

Le piège à connaître

Le produit matriciel n'est pas commutatif. En général, le produit d'une matrice A par une matrice B diffère du produit de B par A, et il arrive même que l'un des deux existe et pas l'autre. Cette seule remarque invalide une grande partie des réflexes acquis avec les nombres : on ne peut pas réordonner librement les facteurs, ni simplifier des deux côtés d'une égalité sans précaution. En revanche, le produit reste associatif et distributif par rapport à l'addition, ce qui autorise à développer et à regrouper, à condition de préserver l'ordre.

Matrice identité et inversibilité

L'élément neutre

La matrice identité joue pour le produit matriciel le rôle que joue le nombre 1 pour la multiplication ordinaire : la multiplier à gauche ou à droite par une matrice redonne cette matrice. Elle est carrée, porte des 1 sur sa diagonale principale et des 0 partout ailleurs. C'est elle qui donne un sens à la notion d'inverse.

Reconnaître un inverse

Une matrice carrée est dite inversible lorsqu'il existe une autre matrice, de même taille, dont le produit avec elle donne l'identité. Le point important est le suivant : si le produit dans un sens donne l'identité, alors le produit dans l'autre sens la donne aussi. Il suffit donc de vérifier une seule des deux égalités pour conclure, ce qui allège considérablement les exercices où l'on demande de montrer qu'une matrice proposée est bien l'inverse d'une autre.

L'inverse d'un produit, comme la transposée, renverse l'ordre des facteurs. Retenir ces deux règles ensemble évite de les confondre.

Le cas des matrices carrées d'ordre deux

Pour une matrice carrée d'ordre deux, tout se joue sur un seul nombre, le déterminant, obtenu en retranchant le produit de la seconde diagonale au produit de la diagonale principale. Si ce déterminant est nul, la matrice n'admet pas d'inverse. S'il ne l'est pas, l'inverse s'écrit par une formule explicite : on échange les deux coefficients de la diagonale principale, on change le signe des deux autres, et on divise l'ensemble par le déterminant. Cette formule est à connaître parfaitement, car elle intervient dans presque tous les exercices du chapitre.

L'inverse par une relation polynomiale

Il existe une seconde méthode, plus élégante et très fréquente aux épreuves, qui fonctionne pour des matrices de n'importe quelle taille. Lorsque l'énoncé fournit une relation polynomiale vérifiée par la matrice, il suffit de la réorganiser pour faire apparaître un produit égal à l'identité. On factorise par la matrice, et le facteur restant est son inverse. Cette technique évite tout calcul lourd et se reconnaît à un indice sûr : l'énoncé demande d'abord de vérifier une égalité, puis d'en déduire l'inversibilité.

Résoudre un système linéaire

C'est l'application qui justifie à elle seule tout le chapitre. Un système d'équations linéaires se réécrit sous la forme d'une équation matricielle à trois objets : la matrice des coefficients, la colonne des inconnues et la colonne des seconds membres. Le système entier tient alors en une seule ligne.

Si la matrice des coefficients est inversible, la solution s'obtient en multipliant à gauche par son inverse, et cette solution est unique. L'insistance sur « à gauche » n'est pas une coquetterie : le produit n'étant pas commutatif, multiplier du mauvais côté produit une expression qui n'a aucun sens dimensionnel. Cette méthode présente un avantage décisif sur la substitution : une fois l'inverse calculé, on résout instantanément le système pour n'importe quel second membre, ce qui est précieux lorsqu'un exercice fait varier les données.

Ce qu'il faut retenir pour les contrôles

• Annoncer la taille d'une matrice toujours dans l'ordre lignes puis colonnes, et vérifier la compatibilité avant tout produit.
• Se rappeler que le produit n'est pas commutatif, et ne jamais réordonner des facteurs par réflexe.
• Connaître par cœur le déterminant et la formule d'inverse d'une matrice carrée d'ordre deux.
• Repérer les énoncés à relation polynomiale : ils demandent une factorisation, pas un calcul.
• Écrire un système sous forme matricielle, puis multiplier à gauche par l'inverse.
• Vérifier une seule des deux égalités pour prouver qu'une matrice est l'inverse d'une autre.

Ces repères couvrent l'essentiel de ce qui est attendu, mais ils ne dispensent pas de travailler les démonstrations et de s'entraîner sur des exercices variés. La fiche ci-dessus rassemble les formules sous une forme visuelle qui se retient bien ; utilisez-la comme dernier passage avant l'épreuve, une fois le cours compris et les exercices faits.