9. Montrer qu'une matrice est l'inverse d'une autre

Comment montrer qu'une matrice est l'inverse d'une autre en Maths expertes ?

Dans les exercices de spécialité ou d'option Maths expertes en Terminale, on te donne souvent deux matrices et on te demande de prouver que l'une est l'inverse de l'autre. La méthode est très simple et directe : tu dois tout simplement les multiplier ! Si le produit de ta matrice \(A\) par ta matrice \(B\) te donne la matrice identité, alors la démonstration est faite.

Attention à la notation : contrairement aux nombres réels où l'inverse de \(3\) s'écrit \(\frac{1}{3}\), l'inverse d'une matrice \(A\) se note toujours \(A^{-1}\). N'écris jamais \(\frac{1}{A}\), cela n'a aucun sens en calcul matriciel ! Retiens bien cette notion, car trouver l'inverse d'une matrice te sera indispensable un peu plus tard dans l'année pour résoudre des systèmes d'équations.

Comment calculer le produit matriciel pour obtenir la matrice identité ?

Reprenons pas à pas l'exemple détaillé dans la vidéo du cours. Imaginons que tu doives vérifier si ces deux matrices carrées sont inverses l'une de l'autre :

On calcule le produit \(A \times B\) en multipliant chaque ligne de la première matrice par chaque colonne de la seconde :

• Première ligne, première colonne : \(1 \times \frac{2}{5} + 3 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1\)
• Première ligne, deuxième colonne : \(1 \times \left(-\frac{3}{5}\right) + 3 \times \frac{1}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5} = 0\)
• Deuxième ligne, première colonne : \(-1 \times \frac{2}{5} + 2 \times \frac{1}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 0\)
• Deuxième ligne, deuxième colonne : \(-1 \times \left(-\frac{3}{5}\right) + 2 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1\)

On obtient bien le résultat suivant :

C'est la fameuse matrice identité, notée \(I_2\) (car elle possède 2 lignes et 2 colonnes). Puisque \(A \times B = I_2\), on en déduit immédiatement que \(B\) est l'inverse de \(A\) (\(B = A^{-1}\)). De la même manière, \(A\) est l'inverse de \(B\). Cela signifie que si tu calcules \(B \times A\), tu arriveras exactement au même résultat sans avoir à refaire le calcul !

Comment éviter les pièges classiques sur les matrices inverses en Terminale ?

Pour t'assurer de maîtriser cette notion, les 6 exercices interactifs de cette page abordent toutes les situations classiques. Voici ce que tu vas y travailler et les erreurs à ne pas commettre :

• La vérification directe (Exercices 1 et 2) : Tu vas multiplier deux matrices pour vérifier si leur produit vaut \(I_2\). Le piège ? Perdre du temps à calculer \(BA\) de zéro alors que tu viens de trouver que \(AB = I_2\). Sers-toi de la propriété du cours : si l'une est l'inverse de l'autre, elles commutent !
• La recherche de coefficients (Exercice 3) : Avec une matrice incomplète, tu devras trouver les valeurs manquantes pour que le produit donne l'identité. Cela revient à résoudre un système d'équations très rapide.
• La proportionnalité avec l'identité (Exercice 4) : Il arrive que le produit \(AE\) ne donne pas \(I_2\), mais un multiple exact, comme par exemple \(2I_2\). Le piège serait de croire que \(E\) est l'inverse. Pense à diviser toute ta matrice par ce coefficient multiplicateur pour faire apparaître \(I_2\) et déduire le bon \(A^{-1}\).
• Les matrices égales à leur propre inverse (Exercice 5) : En calculant le carré d'une matrice (\(P^2\)), tu pourrais tomber directement sur l'identité. N'en sois pas surpris : cela signifie simplement que la matrice est sa propre inverse !
• L'inverse d'un produit (Exercice 6) : On te demandera de calculer \((AB)^{-1}\). L'erreur fatale est de répondre \(A^{-1}B^{-1}\). N'oublie jamais cette règle fondamentale de Terminale : l'ordre s'inverse ! La bonne formule est \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).