6. Savoir si deux matrices sont multipliables

Comment savoir si deux matrices sont multipliables en Terminale Maths expertes ?

C'est une question classique quand on découvre ce chapitre : est-ce que l'on peut multiplier toutes les matrices entre elles ? La réponse est non. Contrairement à ce qu'on pourrait intuitivement penser, il ne suffit pas d'avoir le même nombre d'éléments dans deux matrices pour que leur produit soit possible.

La règle fondamentale à retenir est la suivante : le nombre de colonnes de la première matrice doit être strictement égal au nombre de lignes de la deuxième matrice.

Autrement dit, si tu veux calculer le produit \(AB\), où la matrice \(A\) est de format \(m \times n\) (soit \(m\) lignes et \(n\) colonnes) et la matrice \(B\) est de format \(n \times p\), la multiplication est possible car le nombre \(n\) est en commun. Le résultat sera une nouvelle matrice qui héritera des lignes de la première et des colonnes de la deuxième, soit un format final de \(m \times p\).

Quelle est la formule pour calculer le produit de deux matrices ?

Dans la vidéo de cours, on étudie un cas très concret. Essayons d'abord de multiplier la matrice ligne \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\) par la matrice ligne \(B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \end{pmatrix}\).

La matrice \(A\) a 2 colonnes, mais la matrice \(B\) n'a qu'une seule ligne. Si l'on essaie de croiser les lignes et les colonnes en les positionnant l'une par rapport à l'autre, on se retrouve bloqué : on multiplie \(1 \times (-1)\), mais on n'a aucun deuxième nombre en face du \(2\) de la première matrice pour continuer le calcul. Le produit est tout simplement impossible !

Maintenant, multiplions cette même matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\) par une matrice colonne \(C = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

• La matrice \(A\) possède 2 colonnes.
• La matrice \(C\) possède 2 lignes.

La condition est validée, on peut donc les multiplier ! Pour obtenir le résultat, on multiplie les éléments correspondants et on les additionne :

Le produit d'une matrice à une ligne par une matrice à une colonne nous donne ici une matrice contenant un seul nombre (format \(1 \times 1\)) : un réel. Petit clin d'œil d'ailleurs : multiplier deux suites de nombres de cette façon, en multipliant puis en additionnant, c'est exactement la méthode de calcul du produit scalaire que tu as découverte l'année dernière en classe de Première !

Comment réussir les exercices sur le produit matriciel ?

Pour maîtriser cette notion incontournable du programme de Maths expertes, il faut pratiquer. Les 6 exercices interactifs ci-dessous sont conçus pour te faire travailler progressivement en évitant les pièges classiques.

• Exercices 1 et 4 : Tu vas jouer uniquement avec les formats des matrices, sans faire le moindre calcul. C'est l'étape indispensable pour vérifier du premier coup d'œil si un produit existe, et surtout pour anticiper les dimensions de la matrice résultat.
• Exercices 2, 3 et 6 : On passe aux calculs concrets avec des matrices de formats variés (\(2 \times 3\), \(3 \times 2\) ou \(2 \times 2\)). Attention au piège majeur de ce chapitre : la multiplication matricielle n'est pas commutative. Le produit \(AB\) peut très bien exister alors que \(BA\) est impossible ! Et quand les deux existent, ils ne donnent presque jamais le même résultat.
• Exercice 5 : Un grand classique à bien comprendre. Tu vas multiplier une matrice ligne par une matrice colonne, ce qui donne un simple réel. Ensuite, tu vas inverser l'ordre en multipliant la colonne par la ligne. Tu constateras que le résultat est radicalement différent : tu obtiendras une grande matrice carrée \(3 \times 3\) !

À toi de jouer : munis-toi d'un brouillon, trace bien tes lignes et tes colonnes pour repérer tes intersections, et complète les champs pour vérifier tes calculs !