3. Comment additionner deux matrices

Comment additionner deux matrices en Maths expertes ?

Ne te laisse pas impressionner par le chapitre sur les matrices en option Maths expertes ! Comme l'explique la vidéo de cours, l'addition de deux matrices est sans doute la compétence la plus simple de l'année. La méthode tient en une phrase : il suffit d'additionner les coefficients terme à terme.

Concrètement, pour calculer la somme de deux matrices, tu prends le premier terme de la première matrice (en haut à gauche) et tu l'additionnes au premier terme de la seconde. Tu fais de même pour le deuxième terme, le troisième, et ainsi de suite jusqu'à avoir parcouru l'intégralité des tableaux.

Regardons l'exemple détaillé dans le cours. Si tu dois additionner les deux matrices suivantes, voici le calcul mental que tu dois effectuer :

Ce qui te donne le résultat final très facilement :

Rien de plus sorcier, l'opération se fait de manière très intuitive !

Comment savoir si on peut additionner deux matrices en Terminale ?

Il y a tout de même une question essentielle à se poser avant de foncer tête baissée dans les calculs : est-ce que l'addition est possible ? En effet, en algèbre linéaire, on ne peut additionner que des matrices qui possèdent exactement la même taille.

Cela signifie que tes deux matrices doivent avoir rigoureusement le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. Par exemple, il n'y a aucun sens à vouloir additionner une matrice de taille \(2 \times 2\) avec une matrice de taille \(3 \times 2\). Si tu essayais de le faire, il te manquerait des termes en face des dernières cases pour réaliser l'addition terme à terme, et l'opération bloquerait.

C'est donc le premier réflexe à avoir en Terminale devant un exercice : vérifier rapidement les dimensions de tes matrices avant de commencer ton calcul.

Comment soustraire des matrices ou résoudre une équation matricielle ?

La règle que nous venons de voir pour l'addition s'applique exactement de la même manière pour la soustraction. Pour soustraire une matrice à une autre, il te suffit de soustraire les coefficients terme à terme, en faisant toujours très attention à la règle des signes pour éviter les erreurs d'inattention.

Cette logique te permet également de résoudre de petites équations matricielles de la forme \(A + X = B\), où \(X\) est une matrice inconnue. Il suffit d'isoler la matrice \(X\) pour obtenir \(X = B - A\), puis d'effectuer la soustraction terme à terme.

Que font travailler les exercices interactifs sur la somme de matrices ?

Maintenant que tu as compris le principe, c'est à toi de jouer ! Nous t'avons préparé une série de 6 exercices interactifs pour t'entraîner et vérifier que tu maîtrises parfaitement ces opérations. Voici ce que tu vas y travailler et les pièges à éviter :

• L'application directe (Exercices 1 et 4) : Tu vas réaliser des sommes classiques sur des matrices de différentes tailles. Dans l'exercice 4, le piège est de bien repérer visuellement les couples de matrices de même dimension avant de valider si l'addition est possible.
• La soustraction avec des fractions (Exercice 2) : Le principe reste le même, mais il faudra être vigilant sur les calculs de fractions et faire très attention à la répartition du signe moins sur chaque coefficient.
• La recherche d'inconnues (Exercice 3) : On te donne le résultat final de l'addition, et tu devras poser de petites équations pour déduire la valeur des réels \(x\) et \(y\) cachés dans les matrices initiales.
• Les équations matricielles (Exercice 5) : Tu vas devoir isoler une matrice \(X\) dans une égalité, ce qui fera appel à ta maîtrise de la soustraction.
• Le calcul littéral (Exercice 6) : On corse un peu le tout en additionnant trois matrices qui contiennent des paramètres réels \(a\) et \(b\). Le défi ici est de regrouper les termes semblables sans faire d'erreur d'algèbre.

Prends un brouillon, fais bien attention aux signes et aux dimensions, et lance-toi pour obtenir un sans-faute !