14. Trouver la puissance d'une matrice en la diagonalisant

Comment calculer la puissance d'une matrice avec la diagonalisation en Maths expertes ?

Calculer la puissance d'une matrice, comme \(A^3\) ou \(A^n\), peut vite devenir un cauchemar calculatoire si tu t'y prends de manière frontale. Si tu dois faire \(A \times A \times A\) à la main, le risque d'erreur est énorme. L'astuce incontournable du programme de Maths expertes en Terminale, c'est la diagonalisation.

Le principe est simple : on cherche à écrire notre matrice \(A\) sous la forme \(A = P D P^{-1}\), où \(P\) est une matrice de passage, \(P^{-1}\) son inverse, et \(D\) une matrice diagonale (qui ne contient des nombres que sur sa diagonale principale, et des zéros partout ailleurs).

Pourquoi se donner cette peine ? Regarde ce qui se passe quand on élève \(A\) au cube :

Comme la multiplication matricielle est associative, les termes \(P^{-1} \times P\) au centre s'annulent (ils donnent la matrice identité). Il ne reste alors plus que :

Cette propriété se généralise pour tout entier \(n\) : \(A^n = P D^n P^{-1}\). Et la magie opère ici : pour élever une matrice diagonale \(D\) à la puissance \(n\), il suffit d'élever chacun de ses coefficients diagonaux à la puissance \(n\) !

Quelle est la méthode détaillée sur un exemple de Terminale ?

Prenons un exemple concret tiré de la vidéo de cours pour bien comprendre la méthode. On te donne la matrice \(A\), la matrice \(P\) et son inverse \(P^{-1}\) :

Étape 1 : Calculer la matrice diagonale \(D\)
On calcule \(D = P^{-1} A P\). Après avoir multiplié \(P^{-1}\) par \(A\), puis le résultat par \(P\), on obtient une magnifique matrice diagonale :

Étape 2 : Calculer \(D^3\)
Puisque \(D\) est diagonale, c'est un jeu d'enfant. On élève simplement les éléments de la diagonale au cube (\(1^3 = 1\) et \(2^3 = 8\)) :

Étape 3 : En déduire \(A^3\)
On applique la formule \(A^3 = P D^3 P^{-1}\). On commence par calculer \(P \times D^3\) :

Puis on multiplie ce résultat par \(P^{-1}\) à droite :

Et voilà ! Tu as calculé \(A^3\) de manière élégante et sans te perdre dans de multiples multiplications de \(A\).

Comment savoir si on a bien compris ? Les pièges à éviter dans les exercices

Pour être un champion le jour du contrôle, nous t'avons préparé 6 exercices interactifs qui balaient toutes les compétences attendues sur ce chapitre. Voici ce que tu vas y travailler et les pièges classiques à esquiver :

• La mécanique des calculs (Exercices 1, 2 et 3) : Tu vas devoir calculer \(D = P^{-1} A P\), puis en déduire des puissances chiffrées comme \(A^3\) ou abstraites comme \(A^n\). Le piège absolu ? L'ordre de multiplication ! La multiplication de matrices n'est pas commutative. Si tu calcules \(P^{-1} D^n P\) au lieu de \(P D^n P^{-1}\), tout sera faux. Reste très rigoureux sur l'ordre de tes matrices.
• Astuces sur l'inverse (Exercice 4) : Parfois, \(P^{-1}\) n'est pas donnée directement. Tu devras par exemple remarquer que \(P^2\) donne une matrice particulière (comme l'identité) pour en déduire \(P^{-1}\) sans effort, avant de diagonaliser.
• L'application aux suites couplées (Exercice 5) : C'est LE grand classique du bac. Tu as deux suites \(u_n\) et \(v_n\) qui dépendent l'une de l'autre. On les regroupe dans un vecteur colonne \(X_n\). Attention à bien aligner tes coefficients pour trouver la matrice \(A\) telle que \(X_{n+1} = A X_n\). L'expression de \(A^n\) te donnera ensuite les formules directes (explicites) de tes suites !
• Le calcul de limites (Exercice 6) : Une fois que tu as \(A^n\) (qui dépend souvent de termes comme \(2^n\) ou \(0,5^n\)), on te demandera la limite de la matrice quand \(n\) tend vers l'infini. Rappelle-toi de tes cours d'analyse : si la raison \(q\) est strictement comprise entre -1 et 1, \(q^n\) tend vers zéro !

Prends un brouillon, un stylo, et lance-toi dans les exercices ci-dessous pour valider tes acquis !