12. Résoudre un système d'équations avec une matrice

Comment écrire un système d'équations sous forme de matrice en Terminale ?

Tu te demandes peut-être pourquoi on s'embête à utiliser des matrices pour résoudre un banal système de deux équations à deux inconnues, alors que la bonne vieille méthode par substitution fonctionne très bien. La raison est simple : la méthode matricielle que tu découvres en Terminale option Maths expertes est surpuissante ! Dès que l'on passe à des systèmes à 3, 4 ou même 100 inconnues, les méthodes classiques avec des combinaisons linéaires deviennent un véritable cauchemar à rédiger. Avec les matrices, la logique reste exactement la même, quelle que soit la taille du système.

Pour comprendre la méthode de la vidéo, prenons ce système de départ :

La première étape consiste à casser ce problème en petits morceaux pour l'écrire sous la forme d'une équation matricielle \(AX = B\).

• La matrice \(A\) est la matrice carrée qui rassemble les coefficients situés devant tes inconnues. Ici, on obtient \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).
• La matrice \(X\) est la matrice colonne qui contient tes inconnues : \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).
• La matrice \(B\) est la matrice colonne des résultats : \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).

Si tu effectues le produit \(A \times X\), tu verras que tu obtiens bien la matrice \(\begin{pmatrix} 2x+y \\ x+y \end{pmatrix}\), ce qui correspond exactement aux lignes de ton système !

Quelle est la formule pour résoudre un système avec la matrice inverse en Maths expertes ?

Maintenant que ton système est écrit sous la forme \(AX = B\), ton objectif est d'isoler \(X\) pour trouver tes inconnues. Attention, la division n'existe pas avec les matrices ! Pour "annuler" la matrice \(A\), tu dois multiplier les deux côtés de l'équation, à gauche, par sa matrice inverse, notée \(A^{-1}\). Le produit \(A^{-1} \times A\) donne la matrice identité, et il ne te reste plus qu'une simple formule à retenir : \(X = A^{-1}B\).

Appliquons cela à notre exemple. Imaginons que l'énoncé te donne directement l'inverse de la matrice \(A\) : \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\).

Il te suffit de multiplier cette matrice par la matrice \(B\) :

Faisons le calcul du produit de matrices ligne par ligne :

• Première ligne : \(1 \times 1 + (-1) \times (-2) = 1 + 2 = 3\).
• Deuxième ligne : \(-1 \times 1 + 2 \times (-2) = -1 - 4 = -5\).

On trouve donc \(X = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\). Les solutions de ton système sont \(x = 3\) et \(y = -5\). Tu peux facilement le vérifier de tête : \(3 + (-5)\) fait bien \(-2\), et \(2 \times 3 + (-5)\) fait bien \(1\). Le tour est joué !

Comment éviter les pièges classiques dans les exercices sur les matrices ?

Pour que tu sois prêt pour tes prochains contrôles, je t'ai préparé 6 exercices interactifs. Voici ce que tu vas y travailler et les pièges dans lesquels il ne faut pas tomber :

• Traduire correctement un système à trous : Dans l'exercice 3, tu vas traiter un système à trois inconnues. Méfie-toi : si une lettre n'apparaît pas dans une équation (par exemple, s'il n'y a pas de \(y\) sur la deuxième ligne), son coefficient dans la matrice \(A\) n'est pas \(1\), mais \(0\).
• Respecter l'ordre de multiplication : Pour trouver \(X\), tu dois impérativement calculer \(A^{-1} \times B\), dans cet ordre. Le produit matriciel n'est pas commutatif. Si tu tentes de calculer \(B \times A^{-1}\), non seulement c'est faux, mais les dimensions des matrices t'empêcheront même de faire le calcul.
• Modéliser un problème géométrique : L'exercice 5 est un grand classique du bac. Tu devras trouver l'équation d'une parabole passant par trois points spécifiques en transformant les coordonnées en un système \(3 \times 3\).
• Utiliser un produit de matrices pour déduire l'inverse : Dans l'exercice 6, on te demande d'abord de calculer un produit \(AB\). L'astuce ici est de voir que si \(AB = I\) (la matrice identité), alors \(B\) est tout simplement l'inverse de \(A\). Cela te permettra d'enchaîner la résolution de plusieurs systèmes qui partagent la même matrice des coefficients, sans aucun effort supplémentaire.

Prends un papier, un stylo pour tes calculs intermédiaires, et lance-toi dans les exercices ci-dessous. Tu vas voir, avec un peu de pratique, résoudre des systèmes matriciels deviendra un jeu d'enfant !