11. Polynômes de matrice et inversibilité

Comment montrer qu'une matrice est inversible avec un polynôme en Terminale ?

Dans le chapitre sur les matrices, l'une des compétences clés est d'utiliser un polynôme de matrice pour prouver son inversibilité. L'idée est simple : on remplace l'inconnue d'un polynôme par une matrice carrée \( A \). Si le résultat donne la matrice nulle, on parle de polynôme annulateur.

Reprenons l'exemple de la vidéo avec la matrice \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \). L'objectif est de vérifier que \( A^2 - A + I_2 = 0 \) (où \( 0 \) représente la matrice nulle et \( I_2 \) la matrice identité d'ordre 2).

La première étape consiste à calculer \( A^2 \) en multipliant la matrice par elle-même :

Ensuite, on calcule la combinaison linéaire \( A^2 - A + I_2 \) :

En additionnant terme à terme, on obtient bien :

L'égalité est vérifiée. C'est à partir de cette équation que l'on va pouvoir déduire si la matrice est inversible.

Quelle est la méthode en Maths expertes pour déduire la matrice inverse d'une équation ?

Pour rappel, une matrice \( A \) est inversible s'il existe une matrice \( B \) telle que \( A \times B = I_2 \). La matrice \( B \) est alors l'inverse de \( A \), notée \( A^{-1} \).

Pour trouver cet inverse, l'astuce consiste à manipuler notre polynôme annulateur pour isoler la matrice identité d'un côté de l'égalité. Reprenons notre équation :

On passe les termes contenant \( A \) de l'autre côté :

C'est ici qu'intervient la factorisation. Il faut se rappeler que \( A = A \times I_2 \). On peut donc factoriser par \( A \) :

L'équation est maintenant de la forme \( I_2 = A \times B \). On en déduit immédiatement que \( A \) est inversible et que son inverse est \( A^{-1} = I_2 - A \). Il ne reste plus qu'à faire le calcul final :

Comment éviter les pièges classiques des exercices sur les matrices ?

Les 6 exercices interactifs de cette page te permettent de t'entraîner sur toutes les variantes de cette méthode, essentielles pour réussir tes contrôles. Voici ce que tu vas travailler et les pièges à éviter :

• La factorisation rigoureuse : Ne factorise jamais en écrivant des nombres réels à la place des matrices. Le chiffre 1 devient la matrice identité \( I_2 \) ou \( I_3 \). Écrire \( A(1 - A) \) est une erreur classique, il faut écrire \( A(I_2 - A) \).
• La recherche des coefficients : Dans l'exercice 3, tu devras trouver toi-même les réels \( \alpha \) et \( \beta \) qui annulent le polynôme en résolvant un petit système d'équations issu des coefficients de ta matrice.
• La division pour isoler l'identité : Attention, si ton équation te donne par exemple \( 2I_2 = A \times (\dots) \), tu dois diviser toute ton expression par 2 pour obtenir \( I_2 \) tout seul (comme tu le verras dans l'exercice 4 avec une matrice d'ordre 3).
• Calculer des puissances supérieures : L'exercice 6 va plus loin en te demandant de calculer \( A^3 \). L'astuce est de multiplier ton polynôme de degré 2 par \( A \) pour exprimer \( A^3 \) sans faire de longues multiplications de matrices.
• Le lien avec le déterminant : L'exercice 5 est un piège volontaire. Obtenir une égalité du type \( A^2 = kA \) ne garantit pas l'inversibilité ! Le calcul du déterminant te permettra de trancher.

Prends un brouillon, fais les calculs de \( A^2 \) à la main avec soin, et valide tes résultats dans les champs ci-dessous !