1. C'est quoi une matrice

Qu'est-ce qu'une matrice en Maths expertes de Terminale ?

Pour le dire simplement, une matrice est un tableau de nombres. En classe de Terminale, c'est l'une des notions centrales pour débuter le calcul matriciel en spécialité Maths expertes. Ce tableau est structuré avec des lignes (qui se lisent horizontalement) et des colonnes (qui se lisent verticalement).

Ce qui définit en premier lieu une matrice, c'est son format. On parle d'une matrice de format \(m \times n\) lorsqu'elle possède \(m\) lignes et \(n\) colonnes. Par exemple, une matrice comportant une seule ligne et deux colonnes est dite de format \(1 \times 2\). Si l'on y place les nombres 3 et 5, on la note entre grandes parenthèses de cette façon : \( \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \).

Comment lire et trouver les coefficients d'une matrice ?

Chaque nombre rangé à l'intérieur de la matrice est appelé un coefficient. Pour s'y retrouver facilement et ne pas confondre les nombres entre eux, on repère chaque coefficient par ses coordonnées dans le tableau : on indique toujours le numéro de la ligne d'abord, puis le numéro de la colonne.

Si l'on appelle notre matrice \(M\), le coefficient situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) se note \(a_{i,j}\). Dans le cours vidéo, on prend l'exemple du coefficient \(a_{2,2}\) : c'est le nombre qui se trouve exactement à l'intersection de la deuxième ligne et de la deuxième colonne.

Prenons un exemple numérique complet en créant une matrice de format \(2 \times 3\) (2 lignes et 3 colonnes) avec les nombres cités dans la vidéo :

Ici, la première ligne contient les nombres 2, 3 et 5. Pour trouver le coefficient \(a_{2,2}\), on regarde la deuxième ligne et la deuxième colonne : on trouve \(-1\). Le nombre \(\frac{1}{3}\), quant à lui, est situé à la deuxième ligne et troisième colonne. On écrira donc \(a_{2,3} = \frac{1}{3}\).

Quel est le lien entre les coordonnées d'un vecteur et une matrice ?

Tu as déjà manipulé des matrices sans même t'en rendre compte ! Quand tu donnes les coordonnées d'un vecteur géométrique, par exemple le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \((1 ; 2 ; 3)\), tu utilises en fait une matrice. Tu peux regrouper ces coordonnées sous la forme d'une matrice ligne de format \(1 \times 3\) : \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \), ou bien sous forme d'une matrice colonne.

L'avantage de cette écriture, c'est que les mathématiques sont bien faites : comme souligné dans la leçon, tu verras par la suite qu'en multipliant une matrice ligne et une matrice colonne entre elles, on retrouve exactement la formule familière du produit scalaire de deux vecteurs.

Comment réussir les exercices sur le format et les coefficients matriciels ?

Les 6 exercices interactifs de cette page sont conçus pour te faire maîtriser le vocabulaire de base (lignes, colonnes, format) avant de passer aux calculs. Voici ce que tu vas y travailler :

• Exercices 1, 2 et 3 : Tu vas t'entraîner à déterminer le format d'une matrice et à identifier ou placer des coefficients précis \(a_{i,j}\). Le piège classique à éviter : inverser la ligne \(i\) et la colonne \(j\). Pense toujours à lire horizontalement avant de descendre verticalement !
• Exercice 4 : Tu feras le pont entre la géométrie et l'algèbre en écrivant les coordonnées d'un vecteur de l'espace sous forme de matrice ligne (notée \(U\)) puis de matrice colonne (notée \(V\)).
• Exercice 5 : Tu manipuleras des matrices carrées (qui ont autant de lignes que de colonnes) pour calculer leur trace. La trace est une notion clé : c'est simplement la somme des coefficients diagonaux, c'est-à-dire ceux pour lesquels \(i=j\) (comme \(a_{1,1} + a_{2,2}\)).
• Exercice 6 : Ce dernier exercice te pousse à modéliser. Pour une matrice carrée d'ordre \(n\) (donc de format \(n \times n\)), tu devras trouver les formules générales pour dénombrer ses coefficients. Attention à la confusion courante : une telle matrice contient \(n^2\) éléments au total, et non pas \(2n\). Il te faudra aussi déduire combien de coefficients se trouvent en dehors de cette fameuse diagonale.