9. Division euclidienne de polynômes et reste

Comment faire la division euclidienne de polynômes en Terminale Maths expertes ?

La méthode pour diviser un polynôme par un autre ressemble trait pour trait à la division classique de nombres entiers que tu connais depuis l'école primaire. L'objectif est d'écrire le polynôme sous la forme \(A = B \times Q + R\), où \(Q\) est le quotient et \(R\) le reste.

Prenons l'exemple détaillé dans la vidéo : on veut diviser le polynôme \({7}n^2+{3}n-{9}\) par \(n-{1}\). On pose l'opération en colonnes et on procède étape par étape :

• On regarde le terme de plus haut degré : comment faire rentrer \(n\) dans \({7}n^2\) ? Il faut multiplier par \({7}n\).
• On multiplie le diviseur en entier : \({7}n \times (n-{1}) = {7}n^2-{7}n\).
• On soustrait ce résultat au polynôme de départ : \(({7}n^2+{3}n-{9}) - ({7}n^2-{7}n) = {10}n-{9}\).
• On recommence avec ce nouveau reste : comment faire rentrer \(n\) dans \({10}n\) ? En multipliant par \({10}\).
• On calcule \({10} \times (n-{1}) = {10}n-{10}\).
• On soustrait à nouveau : \(({10}n-{9}) - ({10}n-{10}) = 1\).

Le terme \(1\) ne contient plus de \(n\), on s'arrête là ! Le quotient est donc \({7}n+{10}\) et le reste algébrique est \(1\). On peut écrire l'égalité :

Comment savoir si le reste trouvé est valide pour tout entier naturel n ?

Attention, en arithmétique, une division euclidienne n'est valable que si le reste est strictement inférieur au diviseur (et positif ou nul). Dans notre exemple, le reste est \(1\) et le diviseur est \(n-{1}\). Tu dois donc te poser la question : quand est-ce que \(1 \lt n-{1}\) ?

La résolution de cette inéquation est simple : \(1 \lt n-{1}\) équivaut à \(2 \lt n\). Puisque \(n\) est un entier, cela signifie que la division euclidienne est valide uniquement pour les entiers \(n \geqslant 3\). Pour toutes ces valeurs, le reste vaudra toujours \(1\).

Mais que se passe-t-il pour les cas particuliers \(n = 0\), \(n = 1\) et \(n = 2\) ? Il faut les tester un par un en remplaçant \(n\) dans l'expression initiale :

• Pour \(n = 2\) : le dividende vaut \({7}(2^2)+{3}(2)-{9} = 25\) et le diviseur vaut \(2-1 = 1\). La division de \(25\) par \(1\) donne un reste de \(0\).
• Pour \(n = 1\) : le diviseur vaudrait \(0\). Or, la division par zéro est impossible !
• Pour \(n = 0\) : le dividende vaut \(-9\) et le diviseur \(-1\). \(-9\) divisé par \(-1\) donne \(9\) avec un reste de \(0\).

Conclusion de cet exemple de Maths expertes : le polynôme de départ est un multiple de \(n-{1}\) uniquement pour \(n = 0\) et \(n = 2\). Pour \(n \geqslant 3\), il y a toujours un reste de \(1\).

Quels sont les pièges classiques dans les exercices interactifs sur la division de polynômes ?

Les 6 exercices interactifs de cette page sont conçus pour te faire pratiquer cette mécanique et t'apprendre à éviter les erreurs fréquentes. Voici ce que tu vas devoir mobiliser :

1. Poser correctement la division : Dans les exercices 1, 3 et 6, tu vas devoir trouver le quotient et le reste en appliquant la méthode de la vidéo pas à pas. Le piège est de se tromper dans les signes lors de la soustraction. N'oublie pas les parenthèses quand tu retranches ton résultat intermédiaire !

2. Vérifier la condition du reste : C'est la clé du chapitre. Dans les exercices 2, 4 et 6, on te demande expressément de déterminer à partir de quelle valeur de \(n\) le reste \(R\) trouvé est bel et bien valide (c'est-à-dire \(R \lt \text{diviseur}\)). Prends toujours le temps de résoudre l'inéquation.

3. Travailler sur des expressions à développer : L'exercice 2 te propose un dividende sous la forme \((n+{2})^2\). Pense à développer avec les identités remarquables avant de chercher à diviser.

4. Chercher des multiples et utiliser les diviseurs : L'exercice 5 va plus loin en te demandant de trouver les valeurs de \(n\) pour lesquelles un polynôme est un multiple d'un autre. La méthode consiste à exprimer la relation avec un reste constant, puis à chercher les diviseurs entiers de ce reste. C'est une technique redoutable à maîtriser pour le bac !