7. Effectuer une division euclidienne

Comment faire une division euclidienne en Terminale Maths expertes ?

Revoir la division posée peut te sembler être un simple rappel de la classe de 6ème, mais c'est une compétence absolument indispensable en Terminale Maths expertes. C'est en effet la base de toute l'arithmétique et des notions de congruence que tu vas étudier. La règle d'or de la division euclidienne est simple : on travaille uniquement avec des nombres entiers. Il n'y a jamais de virgule et on ne manipule pas de nombres réels ou décimaux.

Prenons l'exemple détaillé dans la vidéo de cours : la division euclidienne de \({734}\) par \({36}\).

• On dessine d'abord la fameuse potence (en forme de T). On place le plus grand nombre à gauche, \({734}\) : c'est le dividende.
• À droite, on place le \({36}\) : c'est le diviseur.
• On prend les chiffres de gauche à droite. Est-ce que \({36}\) rentre dans \({7}\) ? Non. On élargit donc à \({73}\).
• Est-ce que \({36}\) rentre dans \({73}\) ? Oui, exactement \({2}\) fois, car \(2 \times 36 = 72\).
• On pose la soustraction sous le \({73}\) : \(73 - 72 = 1\). Il reste \({1}\).
• On descend ensuite le \({4}\) pour l'ajouter à notre reste, ce qui nous donne \({14}\).
• Est-ce que \({36}\) rentre dans \({14}\) ? Non, il rentre \({0}\) fois. On inscrit ce \({0}\) à côté du \({2}\).

Puisqu'on refuse d'utiliser des virgules pour poursuivre le calcul, l'opération s'arrête ici. Le quotient est donc de \({20}\) et le reste est de \({14}\).

Quelle est la formule de la division euclidienne ?

Pour traduire mathématiquement l'opération que l'on vient d'effectuer en ligne, on utilise l'égalité fondamentale de la division euclidienne :

Dans cette formule, chaque lettre a un rôle bien précis :

• \(a\) est le dividende (le nombre que l'on divise, ici \({734}\)).
• \(b\) est le diviseur (ici \({36}\)).
• \(q\) est le quotient (le résultat entier, ici \({20}\)).
• \(r\) est le reste (ici \({14}\)).

Pour notre exemple, on écrit donc formellement :

Attention, pour que cette égalité soit véritablement la traduction d'une division euclidienne, il y a une condition stricte et obligatoire sur le reste : il doit toujours être positif ou nul, et strictement inférieur au diviseur. Mathématiquement, cette condition s'écrit \(0 \leqslant r \lt b\) (ou plus généralement \(0 \leqslant r \lt |b|\) si le diviseur venait à être négatif).

Comment éviter les pièges de la division euclidienne dans les exercices ?

Maintenant que les bases sont posées, il faut passer à la pratique. Les six exercices interactifs situés sur cette page sont spécialement conçus pour te confronter aux situations classiques et aux pièges que tu rencontreras régulièrement dans tes contrôles d'arithmétique.

Les deux premiers exercices te permettent de vérifier que tu maîtrises le calcul du quotient et du reste. Tu y croiseras un piège très fréquent : que faire quand le dividende est plus petit que le diviseur, comme par exemple lorsqu'on veut diviser \({33}\) par \({713}\) ? La logique reste identique, il faut simplement accepter que le quotient soit de \(0\).

Les exercices 3 et 5 t'apprennent à gérer un point délicat du programme : les nombres négatifs. Comment faire la division euclidienne de \({-545}\) par \({46}\), ou travailler avec un diviseur négatif ? La clé pour ne pas te tromper est de te rappeler la règle absolue de la formule : le reste \(r\) doit obligatoirement être positif. Cela t'obligera à décaler ton quotient dans les nombres négatifs pour que le reste devienne conforme.

L'exercice 4 teste quant à lui ta vigilance sur la définition mathématique. On te donne une égalité qui semble tout à fait correcte, mais dont le reste est supérieur au diviseur. Tu devras manipuler cette expression algébrique pour rétablir la véritable division euclidienne.

Enfin, les derniers exercices te montrent l'utilité concrète de cette notion à travers des applications pratiques très demandées au bac. Tu apprendras à déterminer le reste d'une somme impliquant des puissances gigantesques, ou encore à résoudre des problèmes de cycles réguliers, comme réussir à trouver quel jour de la semaine exacte nous serons dans \({500}\) jours.