6. Récurrence et divisibilité

Comment démontrer par récurrence une divisibilité en Maths expertes ?

Pour prouver qu'une expression dépendant d'un entier naturel \(n\) est divisible par un entier donné, le raisonnement par récurrence est une méthode incontournable du programme de Terminale. La première étape consiste à définir rigoureusement la propriété à démontrer. Par exemple, si l'on veut prouver que \(12\) divise \(13^n + 11\), il faut traduire cette divisibilité sous la forme d'une équation : on cherche à montrer qu'il existe un entier relatif \(k\) tel que \(13^n + 11 = 12k\). C'est cette égalité qui constituera notre propriété \(P_n\).

Le raisonnement démarre toujours par l'initialisation. On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici pour \(n = 0\). En remplaçant \(n\) par \(0\), on calcule : \(13^0 + 11 = 1 + 11 = 12\). Puisque \(12 = 12 \times 1\), il existe bien un entier relatif (\(k = 1\)) qui vérifie l'égalité. La propriété \(P_0\) est donc vraie et notre récurrence est initialisée.

Comment rédiger l'hérédité d'une récurrence de divisibilité en Terminale ?

L'hérédité est l'étape qui demande le plus de manipulation algébrique. La phrase de rédaction classique est indispensable : « Supposons qu'il existe un entier naturel \(n\) tel que \(P_n\) soit vraie. Montrons que \(P_{n+1}\) est vraie aussi. »

Ton point de départ est ton hypothèse de récurrence : \(13^n + 11 = 12k\). Ton objectif est d'arriver au rang suivant, c'est-à-dire de prouver que \(13^{n+1} + 11 = 12q\), où \(q\) est un nouvel entier. La méthode détaillée dans la vidéo consiste à manipuler l'égalité de départ pour faire apparaître le terme de rang \(n+1\) :

• On multiplie toute l'égalité par \(13\) pour créer le \(13^{n+1}\) : \(13 \times (13^n + 11) = 13 \times 12k\).
• On développe la partie gauche : \(13^{n+1} + 143 = 12 \times 13k\).
• L'astuce est de faire apparaître le \(+ 11\) dont on a besoin. Pour cela, on décompose \(143\) en \(11 + 132\), ce qui donne : \(13^{n+1} + 11 + 132 = 12 \times 13k\).
• On isole notre expression cible en passant le \(132\) de l'autre côté : \(13^{n+1} + 11 = 12 \times 13k - 132\).

Il ne reste plus qu'à remarquer que \(132\) est un multiple de \(12\) (car \(132 = 12 \times 11\)). On factorise alors la partie droite par \(12\) :

La valeur \((13k - 11)\) est bien un entier relatif. On a donc prouvé que \(13^{n+1} + 11\) s'écrit sous la forme \(12 \times q\). La propriété est héréditaire. En conclusion, la propriété étant initialisée et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Comment savoir si une expression avec des puissances est divisible et déjouer les pièges ?

Pour maîtriser l'Arithmétique en Maths expertes, il faut t'entraîner à manipuler les puissances avec fluidité. C'est exactement l'objectif des 6 exercices interactifs proposés sur cette page.

Le piège le plus classique réside dans la gestion des exposants lorsque l'on passe du rang \(n\) au rang \(n+1\). Par exemple, dans les exercices 4 et 6, tu rencontreras des termes comme \(3^{2n+1}\). Lorsque tu remplaces \(n\) par \(n+1\), l'exposant devient \(2(n+1)+1 = 2n+3\). Cela équivaut à multiplier le terme initial non pas par \(3\), mais par \(3^2\), soit \(9\) ! Une erreur courante est d'oublier de distribuer le coefficient dans l'exposant.

Ces exercices te feront également travailler différentes stratégies de calcul pour l'hérédité. Au-delà de la méthode de multiplication vue dans la vidéo, tu apprendras à isoler intelligemment un terme, à écrire des expressions sous la forme \(8(8^n - 3^n) + c \times 3^n\), ou encore à calculer une différence stratégique comme \(u_{n+1} - 10u_n\) (exercice 5) pour éliminer les termes gênants. Prends une feuille de brouillon, pose bien tes calculs intermédiaires, et complète les champs pour valider tes acquis sur la récurrence !