4. Trouver la liste des diviseurs d'un nombre

Comment trouver la liste des diviseurs d'un nombre en Terminale Maths expertes ?

En arithmétique, déterminer l'ensemble des diviseurs d'un entier est un grand classique. Pour ne rater aucun diviseur, la stratégie la plus efficace se déroule en deux étapes : d'abord la décomposition en produit de facteurs premiers, puis l'utilisation d'un arbre de dénombrement.

Pour décomposer ton nombre, tu dois faire des divisions successives par les nombres premiers (\(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), etc.) en commençant par le plus petit, jusqu'à arriver à \(1\). Prenons l'exemple du nombre \(126\) vu dans la vidéo :

• On divise par \(2\) : \(126 \div 2 = 63\)
• On ne peut plus diviser par \(2\), on passe à \(3\) : \(63 \div 3 = 21\)
• On divise encore par \(3\) : \(21 \div 3 = 7\)
• On divise par \(7\) : \(7 \div 7 = 1\)

La décomposition est donc : \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\). Cette écriture est la clé pour trouver absolument tous les diviseurs.

Quelle est la méthode de l'arbre pour lister les diviseurs sans en oublier ?

Une fois ta décomposition obtenue, il faut lister les combinaisons d'exposants. Une excellente technique consiste à tracer un arbre. Pour optimiser l'espace, commence par le facteur qui a le plus grand exposant, ici \(3^2\). Ton arbre aura trois niveaux correspondant à tes trois facteurs premiers (\(3\), \(2\) et \(7\)) :

• Le premier niveau (pour le facteur 3) : \(3^0\), \(3^1\) et \(3^2\).
• Le deuxième niveau (pour le facteur 2) : au bout de chaque branche précédente, tu ajoutes les possibilités pour \(2\), soit \(2^0\) et \(2^1\).
• Le troisième niveau (pour le facteur 7) : au bout de chaque branche, tu ajoutes \(7^0\) et \(7^1\).

Il ne te reste plus qu'à multiplier les nombres de chaque chemin parcouru dans l'arbre ! Rappelle-toi que tout nombre à la puissance zéro vaut \(1\). Le premier chemin donne \(3^0 \times 2^0 \times 7^0 = 1 \times 1 \times 1 = 1\). Le dernier chemin donne \(3^2 \times 2^1 \times 7^1 = 9 \times 2 \times 7 = 126\).

En parcourant toutes les branches, tu obtiens la liste exhaustive des diviseurs de \(126\) : \(1\), \(2\), \(3\), \(6\), \(7\), \(9\), \(14\), \(18\), \(21\), \(42\), \(63\) et \(126\).

Comment calculer à l'avance combien un entier possède de diviseurs ?

Avant même de faire ton arbre, tu peux facilement déterminer le nombre total de diviseurs positifs. La formule est simple : on prend chaque exposant de la décomposition en facteurs premiers, on lui ajoute \(1\), et on multiplie le tout.

Pour \(126 = 2^1 \times 3^2 \times 7^1\), les exposants sont \(1\), \(2\) et \(1\). Le calcul est :

Le nombre \(126\) possède donc \(12\) diviseurs positifs. Cette petite astuce est redoutable pour vérifier que tu n'en as pas oublié en cours de route.

Quels sont les pièges à éviter dans nos exercices interactifs ?

Les 6 exercices proposés sur cette page sont conçus pour te faire maîtriser cette méthode et explorer les propriétés des diviseurs. Voici ce que tu vas travailler :

• L'acquisition de la méthode : Les premiers exercices te guident pas à pas dans la décomposition et le calcul du nombre de diviseurs. Le piège classique ? Oublier le \(1\) ou le nombre lui-même dans ta liste finale !
• Les diviseurs communs : Tu devras comparer les décompositions de deux nombres pour trouver leurs diviseurs communs, une excellente préparation à la notion de PGCD.
• Les nombres parfaits : Tu vas découvrir si un nombre est égal à la somme de ses diviseurs stricts. Lis bien l'énoncé : un diviseur strict exclut le nombre lui-même.
• Le dénombrement sous contrainte : Le dernier exercice est un véritable défi de Maths expertes. Tu devras compter les diviseurs qui respectent une condition (être pair ou être multiple de \(15\)). L'astuce consiste à imposer la présence d'au moins un facteur \(2\) pour qu'un diviseur soit pair, ou des facteurs \(3\) et \(5\) pour un multiple de \(15\). Fais bien attention aux exposants que tu sélectionnes.

Prends un brouillon, fais tes divisions successives proprement et entraîne-toi. À toi de jouer !