3. Trouver les valeurs pour qu'un polynôme de n soit divisible par un autre

Comment savoir si un polynôme en n en divise un autre en Terminale Maths expertes ?

En spécialité Maths expertes, la divisibilité est au cœur du programme d'arithmétique. Une question très classique en contrôle consiste à trouver les entiers \(n\) pour lesquels un polynôme en \(n\) en divise un autre de degré supérieur, par exemple trouver \(n\) tel que \(n-2\) divise \(2n^2-n+1\).

Si la question était "trouver \(n\) pour que \(n-2\) divise \(3\)", le problème serait simple : il suffirait de chercher les diviseurs entiers de \(3\). Mais ici, la variable \(n\) est présente à la fois dans le diviseur et dans le dividende. L'astuce consiste donc à utiliser les combinaisons linéaires pour faire disparaître les \(n\) du dividende et se ramener à un nombre constant. On s'appuie sur une propriété fondamentale : si un entier \(d\) divise \(a\) et \(d\) divise \(b\), alors \(d\) divise n'importe quelle combinaison linéaire \(u \times a + v \times b\).

Quelle est la méthode pour trouver les valeurs de n avec une combinaison linéaire ?

Reprenons notre exemple classique : on cherche les entiers naturels \(n\) tels que \(n-2\) divise \(2n^2-n+1\). L'objectif est d'éliminer progressivement les puissances de \(n\).

Étape 1 : On sait que \(n-2\) divise le dividende \(2n^2-n+1\). On sait aussi que \(n-2\) se divise évidemment lui-même. Pour éliminer le terme en \(2n^2\), on va multiplier \(n-2\) par \(2n\) et soustraire :

Donc, \(n-2\) divise \(3n+1\).

Étape 2 : Il nous reste un \(3n\). On répète l'opération en multipliant cette fois \(n-2\) par \(3\) :

C'est gagné ! On a prouvé que si \(n-2\) divise \(2n^2-n+1\), alors \(n-2\) divise \(7\).

Étape 3 : On cherche les diviseurs de \(7\) (qui est un nombre premier). Les diviseurs dans les entiers relatifs sont \(-7, -1, 1\) et \(7\). On résout donc :

• \(n-2 = 7\) donne \(n = 9\)
• \(n-2 = 1\) donne \(n = 3\)
• \(n-2 = -1\) donne \(n = 1\)
• \(n-2 = -7\) donne \(n = -5\)

Puisque l'énoncé demande des entiers naturels, on élimine \(-5\). Il nous reste \(n \in \{1, 3, 9\}\).

Pourquoi faut-il toujours vérifier ses solutions en arithmétique ?

C'est le piège numéro un ! Dans la méthode que nous venons d'appliquer, nous avons raisonné par implication (avec des "donc"). Cela signifie que nous avons trouvé toutes les solutions possibles, mais rien ne garantit qu'elles fonctionnent toutes. Nous avons peut-être créé de fausses solutions en multipliant par des termes contenant du \(n\).

Il est donc obligatoire de tester les candidats trouvés dans l'énoncé de départ :

• Pour \(n = 1\) : \(1-2 = -1\). Or \(-1\) divise n'importe quel entier, donc \(1\) est bien solution.
• Pour \(n = 3\) : \(3-2 = 1\). De même, \(1\) divise tout, donc \(3\) est solution.
• Pour \(n = 9\) : le diviseur est \(9-2 = 7\). Le dividende est \(2(9)^2 - 9 + 1 = 162 - 8 = 154\). Est-ce que \(7\) divise \(154\) ? Oui, car \(154 = 7 \times 22\). Donc \(9\) est aussi solution.

Comment s'entraîner sur la divisibilité des polynômes en Maths expertes ?

Pour être parfaitement au point sur ce chapitre, je t'ai préparé 6 exercices interactifs. Ils sont conçus pour te faire travailler une progression logique :

Tu commenceras par un cas direct avec un diviseur constant (Exercice 1). Ensuite, tu apprendras à gérer un polynôme de degré 1 qui en divise un autre de degré 1 (Exercices 2 et 6). Les Exercices 3 et 5 te feront manipuler des polynômes de degré 2, en utilisant soit la méthode des combinaisons linéaires vue dans la vidéo, soit des astuces de factorisation.

Fais bien attention aux pièges classiques que j'ai glissés :

• Lis bien la consigne : cherche-t-on des entiers naturels (positifs) ou des entiers relatifs (positifs et négatifs) ? L'Exercice 6 te demandera d'être très vigilant sur ce point.
• Pense aux conditions de base : si \(n\) est un entier naturel, alors \(n+3\) est forcément supérieur ou égal à \(3\), ce qui élimine d'office certains diviseurs (Exercice 2).
• N'oublie jamais que certaines expressions algébriques peuvent se simplifier directement grâce aux identités remarquables (Exercices 4 et 5).

Prends un brouillon, un stylo, et lance-toi ! C'est en forgeant ces automatismes de calcul que tu réussiras tes contrôles de Maths expertes.