14. Montrer qu'un nombre est divisible avec les congruences

Comment montrer qu'un nombre est divisible à l'aide des congruences en Terminale ?

En spécialité Maths expertes, tu vas très souvent rencontrer des exercices te demandant de prouver qu'une expression dépendant d'un entier \(n\) est divisible par un certain nombre. La première étape indispensable est de traduire cette divisibilité en langage de congruences. C'est le critère fondamental : dire qu'un entier \(A\) est divisible par un entier \(B\) revient exactement à dire que le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\) est nul, et donc que \(A \equiv 0 \pmod{B}\).

Au lieu de faire un tableau de congruences avec toutes les valeurs de \(n\), ce qui est parfois très long ou fastidieux, on peut construire l'égalité pas à pas. Le but du jeu est de partir d'une congruence connue et d'appliquer des opérations (puissances, multiplications, soustractions) pour reconstruire l'expression de départ et vérifier qu'elle est bien congrue à 0.

Comment utiliser les puissances avec les congruences en Maths expertes ?

La méthode la plus efficace, détaillée dans la vidéo de cours, repose sur la recherche du nombre 1. Si tu arrives à trouver une puissance de ta base qui est congrue à 1 modulo ton diviseur, c'est le jackpot ! Regardons l'exemple de la vidéo : on veut montrer que \(4^{2n} - 1\) est divisible par 15 pour tout entier naturel \(n\).

L'objectif est de prouver que \(4^{2n} - 1 \equiv 0 \pmod{15}\). Pour cela, on cherche une puissance de 4 qui se simplifie bien modulo 15 :

• On teste \(4^1\) : \(4 \equiv 4 \pmod{15}\). Ce n'est pas suffisant.
• On teste \(4^2\) : \(4^2 = 16\). Or, \(16 = 15 \times 1 + 1\), ce qui signifie que \(16 \equiv 1 \pmod{15}\). C'est le point de départ parfait !

Une fois ce résultat obtenu, on utilise la compatibilité des congruences avec les puissances. On élève les deux membres de notre congruence à la puissance \(n\) :

En utilisant les règles de calcul sur les exposants, on obtient directement :

Il ne reste plus qu'à soustraire 1 de chaque côté pour recréer l'expression de l'énoncé :

La démonstration est terminée. Sans aucun tableau, nous avons prouvé que \(4^{2n} - 1\) est bien un multiple de 15.

Comment s'entraîner sur la divisibilité avec nos exercices interactifs ?

Pour maîtriser cette technique sur le bout des doigts et assurer à ton prochain contrôle, nous t'avons préparé 6 exercices interactifs. Ils sont conçus pour te faire progresser étape par étape et éviter les erreurs courantes :

• La recherche du 1 : Les premiers exercices te font pratiquer la technique de base. Tu devras identifier la bonne puissance qui donne 1 modulo le diviseur, par exemple en travaillant avec les modules 48 ou 15.
• La gestion des restes identiques : Parfois, il ne s'agit pas de trouver 1, mais de montrer que deux bases différentes ont le même reste modulo un nombre. Ainsi, quand on les soustrait, le résultat s'annule (comme dans l'exercice sur \(5^n\) et \(2^n\)).
• Les exposants composés : Un piège très classique en Terminale est de mal manipuler les exposants de la forme \(4n+1\) ou \(4n+2\). Tu devras apprendre à les scinder correctement avec les règles des puissances. Par exemple, rappelle-toi que \(2^{4n+1} = 2^1 \times (2^4)^n\). Oublier ce facteur multiplicatif est une erreur fatale !
• Les très grands nombres : Le dernier exercice est un grand classique de type bac. Tu feras face à des nombres immenses avec des exposants géants. La stratégie comporte deux étapes où il ne faut pas se tromper : tu dois d'abord réduire la base modulo le diviseur, puis chercher la période du cycle des restes pour les puissances. Il faudra alors utiliser une division euclidienne sur le grand exposant pour trouver sa place dans le cycle.

Prends un brouillon, fais bien attention à tes règles sur les exposants, et complète les champs ci-dessous pour devenir un champion des congruences !