13. Montrer qu'un nombre est multiple/diviseur avec un tableau de congruence

Comment savoir si une expression est divisible par un entier en Maths expertes ?

En spécialité Maths expertes de Terminale, l'arithmétique te demande souvent de vérifier si une expression dépendant d'un entier \(n\) est un multiple ou un diviseur d'un autre nombre. La méthode la plus efficace pour y parvenir est de traduire ce problème de divisibilité en une équation de congruence.

Dire qu'une expression est divisible par 7 signifie que le reste de sa division euclidienne par 7 est égal à 0. Autrement dit, l'expression est congrue à 0 modulo 7. Au lieu de tester une infinité de nombres, il suffit d'utiliser les propriétés opératoires des congruences et d'étudier tous les restes possibles de \(n\) dans la division par 7.

Comment dresser un tableau de congruence pour trouver les valeurs de n ?

Pour résoudre ce type de problème, on utilise un tableau de congruence. L'idée est de lister les restes possibles de l'entier \(n\) modulo un nombre, puis de calculer le reste de l'expression complète pour chacun de ces cas.

Prenons l'exemple détaillé dans la vidéo de cours : on cherche les entiers naturels \(n\) tels que le polynôme \(n^2 - 3n\) soit divisible par 7. Cela revient à résoudre \(n^2 - 3n \equiv 0 \pmod{7}\). Puisque l'on travaille modulo 7, l'entier \(n\) ne peut avoir que 7 restes possibles : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. On dresse alors un tableau en remplaçant \(n\) par ces valeurs :

• Si \(n \equiv 0\), alors \(0^2 - 3 \times 0 = 0 \equiv 0 \pmod{7}\).
• Si \(n \equiv 1\), alors \(1^2 - 3 \times 1 = -2\). Pour obtenir un reste positif, on ajoute 7 : \(-2 + 7 = 5 \pmod{7}\).
• Si \(n \equiv 2\), alors \(2^2 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2 \equiv 5 \pmod{7}\).
• Si \(n \equiv 3\), alors \(3^2 - 3 \times 3 = 9 - 9 = 0 \equiv 0 \pmod{7}\).
• Si \(n \equiv 4\), alors \(4^2 - 3 \times 4 = 16 - 12 = 4 \equiv 4 \pmod{7}\).
• Si \(n \equiv 5\), alors \(5^2 - 3 \times 5 = 25 - 15 = 10 \equiv 3 \pmod{7}\).
• Si \(n \equiv 6\), alors \(6^2 - 3 \times 6 = 36 - 18 = 18 \equiv 4 \pmod{7}\).

En lisant les résultats, on constate que \(n^2 - 3n \equiv 0 \pmod{7}\) uniquement lorsque \(n \equiv 0 \pmod{7}\) ou \(n \equiv 3 \pmod{7}\). Cela représente une infinité de solutions. On peut facilement vérifier ce résultat : prenons \(n = 10\) (qui est bien congru à 3 modulo 7). On calcule \(10^2 - 3 \times 10 = 100 - 30 = 70\). Le nombre 70 est bien un multiple de 7 car \(7 \times 10 = 70\).

Quels sont les pièges classiques dans les exercices de congruence en Terminale ?

Pour t'entraîner sur cette notion incontournable, 6 exercices interactifs sont à ta disposition. Les premiers exercices te feront manipuler des polynômes simples. Tu devras par exemple prouver qu'une expression comme \(n(n+1)(2n+1)\) est un multiple de 6 pour tout entier \(n\). Dans ce cas, ton tableau de congruence devra afficher un reste de 0 pour absolument toutes les colonnes.

Les exercices suivants introduisent une subtilité très fréquente au baccalauréat : les puissances. Tu y étudieras la divisibilité d'expressions contenant des termes comme \(4^n\) ou \(3^n + 7^n\). La méthode du tableau évolue légèrement car tu devras d'abord observer les restes des premières puissances pour identifier une période (un cycle qui se répète). Cela te permettra ensuite de déduire le comportement de l'expression pour n'importe quel entier \(n\).

Attention à deux pièges récurrents : le premier est de laisser un reste négatif dans ton tableau (n'oublie pas d'ajouter le module pour retomber sur un entier positif, comme vu avec le -2 qui devient 5 modulo 7). Le second est de confondre la valeur de \(n\) avec le reste de l'expression. Remplis tes tableaux méthodiquement et prends le temps de vérifier tes calculs avec un exemple numérique concret !