1. Opérations sur les nombres pairs et impairs

Comment définir un nombre pair ou impair en Maths expertes ?

Pour bien démarrer le chapitre d'arithmétique en Terminale, il faut acquérir des réflexes simples sur la parité des nombres. En mathématiques, on ne se contente pas de dire qu'un nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. On utilise une définition algébrique précise qui permet de faire des démonstrations.

Un nombre entier est pair s'il est un multiple de 2. Il peut donc s'écrire sous la forme \(2k\), où \(k\) est un entier relatif. À l'inverse, un nombre impair ne l'est pas : il s'écrira toujours sous la forme \(2k+1\). Toute la logique de ce cours repose sur l'utilisation de ces deux écritures pour manipuler tes équations.

Comment démontrer qu'un résultat est pair ou impair ?

La méthode est toujours la même : tu dois traduire ton énoncé avec des \(2k\) ou des \(2k+1\), développer, puis factoriser par 2. À la fin de ton calcul, si tu obtiens \(2 \times (\text{quelque chose})\), ton nombre est pair. Si tu obtiens \(2 \times (\text{quelque chose}) + 1\), il est impair.

Prenons un exemple classique : comment prouver que le carré d'un nombre impair est toujours impair ?

On prend un nombre impair, qui s'écrit \(2k+1\). On l'élève au carré en utilisant les identités remarquables :

L'objectif est de faire apparaître un facteur 2. On factorise les deux premiers termes, et on laisse le "+1" tranquillement à la fin :

On peut poser \(Q = 2k^2 + 2k\). On obtient alors la forme \(2Q+1\). La démonstration est terminée : le carré d'un nombre impair est bien un nombre impair !

Comment faire une disjonction des cas en Terminale ?

Parfois, tu dois étudier une expression sans connaître la parité de l'inconnue de départ. C'est le cas si l'on cherche à prouver que le produit de deux nombres consécutifs, \(k(k+1)\), est toujours pair. La méthode classique est la disjonction des cas : on teste les deux hypothèses possibles.

• Cas 1 : si \(k\) est pair. Alors \(k = 2q\). Le produit devient \((2q)(2q+1) = 4q^2 + 2q\). En factorisant par 2, on obtient \(2(2q^2 + q)\). C'est un nombre pair.
• Cas 2 : si \(k\) est impair. Alors \(k = 2q+1\). Le produit devient \((2q+1)(2q+2) = 4q^2 + 4q + 2q + 2 = 4q^2 + 6q + 2\). En factorisant par 2, on trouve \(2(2q^2 + 3q + 1)\). C'est également pair.

Astuce de Maths expertes pour aller plus vite : deux nombres consécutifs sont obligatoirement constitués d'un nombre pair et d'un nombre impair. Posons \(2k\) et \(2q+1\). Leur produit est \(2k(2q+1) = 2(k(2q+1))\). Le facteur 2 est évident, le résultat est donc pair instantanément !

Quels sont les pièges à éviter dans nos exercices interactifs ?

Les 6 exercices ci-dessous vont t'entraîner à manipuler ces expressions algébriques pour déterminer des parités ou des divisibilités. Voici ce à quoi tu dois faire attention :

• Les identités remarquables : dans les exercices 1 et 2, n'oublie pas le double produit lorsque tu développes tes carrés. L'erreur classique est d'écrire \((2n+5)^2 = 4n^2 + 25\).
• La factorisation par 2 : quand on te demande d'écrire un résultat sous la forme \(2Q+1\), veille à bien isoler le "+1" à la fin de ton expression avant de factoriser le reste par 2.
• Les hypothèses de divisibilité : l'exercice 4 te montrera que ce n'est pas parce qu'une formule semble générer des multiples de 8 que c'est le cas pour toutes les valeurs de \(n\). Le test avec \(n=0\) (le contre-exemple) est une arme redoutable.
• Le produit de nombres consécutifs : souviens-toi de la démonstration vue plus haut. Dans l'exercice 6, reconnaître que l'expression \(n(n+1)\) est toujours paire (et peut donc s'écrire \(2k\)) est la clé pour prouver la divisibilité finale.

À toi de jouer, prends un brouillon et complète les champs pour vérifier que tu maîtrises ces mécanismes d'arithmétique !