14. Montrer que trois points sont alignés (avec et sans les coordonnées)

Comment montrer que 3 points sont alignés dans l'espace en Terminale ?

Allez les amis, on est partis pour étudier l'alignement de points dans l'espace quand on vous a donné les coordonnées seulement, on s'y met tout de suite.

On vous a fait une fiche. Quand vous allez dans la rubrique « point », vous voyez que pour montrer que trois points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés, il faut montrer que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) par exemple, sont colinéaires. Ou alors que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \) sont colinéaires, ce qui revient au même.

Comment prouver que deux vecteurs sont colinéaires avec leurs coordonnées ?

Nous, on va montrer que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires en utilisant la première technique qu'on vous a donnée en haut de la fiche : montrer que des vecteurs sont colinéaires en utilisant les coordonnées. C'est-à-dire qu'on va calculer les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) et de \( \overrightarrow{AC} \), et on va voir s'il y a un multiplicateur commun. C'est-à-dire que si je prends la première coordonnée de \( \overrightarrow{AB} \) et que je la divise par la première coordonnée de \( \overrightarrow{AC} \), et que je regarde la deuxième coordonnée de \( \overrightarrow{AB} \) et de \( \overrightarrow{AC} \), et la troisième coordonnée, ces trois quotients, c'est bien la même chose.

Quelle est la formule pour calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace ?

Donc je commence par calculer les coordonnées de mon vecteur \( \overrightarrow{AB} \). Je vous rappelle que les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \), si vous êtes arrivés jusqu'en Terminale sans savoir comment faire, franchement, vous avez mon respect. C'est celles de \( B \) moins celles de \( A \), toujours la fin moins le début.

Celles de \( B \) donc : \( 3, -4, 0 \) moins celles de \( A \). \( 3 - 5 = -2 \). \( -4 - (-2) \), ça fait \( -4 + 2 \), ça me fait \( -2 \). Et \( 0 - 2 = -2 \). Voilà pour \( \overrightarrow{AB} \).

\( \overrightarrow{AC} \) : \( 9 - 5 = 4 \). \( 2 - (-2) \), \( 2 + 2 = 4 \). \( 6 - 2 = 4 \).

Comment vérifier la proportionnalité des coordonnées pour prouver l'alignement ?

Et là, je vérifie bien que \( \frac{4}{-2} \) ça fait bien \( \frac{4}{-2} \), et ça fait bien \( \frac{4}{-2} \). Donc les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires. Donc les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés. C'est aussi bête que ça. On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des brutes. Des brutes, oui !