6. Montrer que deux vecteurs sont colinéaires (sans les cordonnées)

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires dans l'espace sans utiliser les coordonnées ?

Allez les amis, on est partis pour voir comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires sans utiliser les coordonnées dans ce type d'exercice et je vais vous donner la formule magique pour arriver à faire des égalités dans les figures, on s'y met tout de suite.

Ce genre d'exercice, ça se présente toujours de la même manière. Premièrement, on vous donne un couple de points ou un seul point qu'on vous demande de positionner à partir d'égalités. Deuxièmement, on vous demande de montrer que deux vecteurs sont colinéaires. La première partie, elle pose pas de problème, positionner les points, c'est facile. Ce qui est plus compliqué, c'est de montrer que les vecteurs sont colinéaires.

Comment positionner un point dans l'espace à partir d'une égalité vectorielle ?

Commençons par positionner les points. Donc, mon point \(I\), je sais que pour l'avoir, je pars du point \(D\) et je fais un tiers de \(\overrightarrow{AF}\). Donc \(\overrightarrow{AF}\), c'est cette grande diagonale. Donc je vais partir du point \(D\), et je vais faire un tiers de cette grande diagonale. Donc un tiers de cette grande diagonale, ça m'amène ici. Voilà mon point \(I\). Il est sur la face du fond et il fait un tiers de \(\overrightarrow{AF}\).

Pour avoir mon point \(J\), je vais partir du point \(A\), et je vais faire un tiers de \(\overrightarrow{AB}\) plus \(\overrightarrow{AD}\). Donc, je pars du point \(A\). Je vais faire un tiers de \(\overrightarrow{AB}\), donc un tiers de cette longueur, ça m'amène à peu près là. Plus \(\overrightarrow{AD}\), plus cette longueur-là. J'arrive ici. Donc là, j'ai mon point \(J\).

La figure nous permet de vérifier que effectivement \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{BF}\), c'est-à-dire ce vecteur-là et ce vecteur-là, ont l'air parallèles, voire ils ont même tous les deux l'air très verticaux.

Quelle est la méthode pour démontrer la colinéarité de deux vecteurs avec la relation de Chasles ?

Comment est-ce qu'on va montrer que les vecteurs sont colinéaires ? Donc ça, c'est un classique. Ce qu'on vous demande de faire c'est, pour deux vecteurs colinéaires, soit le faire comme dans la fiche avec les coordonnées, soit le faire comme dans la fiche avec les vecteurs. Avec les vecteurs, ça consiste à dire : je vais partir d'un des deux, je vais travailler, travailler, travailler, travailler et à la fin je vais avoir égal \(k\) fois l'autre, quelque chose fois l'autre.

Par exemple, je vais partir de mon vecteur \(\overrightarrow{IJ}\). Je vais travailler avec des égalités. Je vais travailler, je vais travailler, et à la fin, je vais avoir par exemple un tiers de \(\overrightarrow{BF}\). Et j'aurai terminé ma démonstration. C'est ce qu'on va faire ici.

De quoi vous avez besoin pour faire ce genre d'égalité ? Vous avez besoin de quatre choses. La première c'est une figure et toutes les propriétés qu'il y a dans la figure. C'est-à-dire par exemple, ce vecteur-là est égal à ce vecteur-là, celui-là est égal à celui-là, bref les propriétés intrinsèques de la figure que vous êtes en train d'utiliser. La deuxième chose que vous avez absolument besoin d'utiliser, c'est les propriétés qui vous ont été données dans l'énoncé. Donc celles par exemple qui vous permettent de tracer \(I\) et \(J\). La troisième chose, c'est la relation de Chasles. Et la quatrième, c'est la règle spéciale que je vous donne tout de suite... d'après la pub.

Qui consiste à dire que votre point de départ, par exemple pour savoir si vous allez aller de \(\overrightarrow{IJ}\) à \(\overrightarrow{BF}\) ou de l'inverse, c'est de partir du plus tordu. Vous partez du vecteur le plus tordu. En l'occurrence le plus tordu ici, c'est clairement pas \(\overrightarrow{BF}\) qui est une belle arête, mais c'est le vecteur \(\overrightarrow{IJ}\). Donc vous partez du plus tordu, et vous allez vous débrouiller pour exprimer tous les vecteurs en fonction des vecteurs de base de la figure qui sont par exemple un horizontal, un vertical, et un vers le fond. Une fois que vous aurez exprimé tous les vecteurs en fonction de ces vecteurs-là, forcément, vous allez arriver à un truc de joli. On se le fait tout de suite.

Comment exprimer un vecteur en fonction des arêtes principales d'un pavé droit ?

Donc, je pars de mon vecteur \(\overrightarrow{IJ}\). La première chose à faire, c'est de se dire, bon ce vecteur \(\overrightarrow{IJ}\), si je veux avoir une chance de l'exprimer en fonction des arêtes, il faut que je retourne vers ces arêtes. Donc \(\overrightarrow{IJ}\), une première arête que j'ai, c'est de dire que pour aller de \(I\) à \(J\), c'est comme si je faisais \(\overrightarrow{ID} + \overrightarrow{DJ}\). En faisant \(\overrightarrow{ID} + \overrightarrow{DJ}\), je gagne ce bout-là, je gagne ce \(\overrightarrow{DJ}\).

Formidable parce que votre \(\overrightarrow{ID}\), vous l'avez tout de suite. Vous savez que \(\overrightarrow{DI}\) c'est un tiers de \(\overrightarrow{AF}\), donc \(\overrightarrow{ID}\) c'est moins un tiers de \(\overrightarrow{AF}\). Donc là je peux remplacer mon \(\overrightarrow{ID}\) par moins un tiers de \(\overrightarrow{AF}\) plus \(\overrightarrow{DJ}\). On garde en tête qu'on doit toujours exprimer les vecteurs en fonction des arêtes de base qui sont cette arête-là, cette arête-là et l'arête du fond. Donc mon vecteur \(\overrightarrow{AF}\), c'est-à-dire ce vecteur-là, je vais dire que c'est tout simplement \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}\). Donc moins un tiers de \(\overrightarrow{AF}\), je vais le transformer en moins un tiers de \((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF})\). Et hop, j'ai remplacé mon \(\overrightarrow{AF}\), donc mon vecteur tordu, en deux vecteurs droits \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BF}\).

Il me reste mon \(\overrightarrow{DJ}\). Donc le \(\overrightarrow{DJ}\), c'est le vecteur qui est exactement là. Sauf que je me rends compte que mon \(\overrightarrow{DJ}\) c'est \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AJ}\). Et en faisant \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AJ}\), je gagne \(\overrightarrow{DA}\), qui est une arête principale, et je gagne aussi \(\overrightarrow{AJ}\) qu'on m'a donné là en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\), donc en fonction des arêtes principales. Donc j'ai tout intérêt à dire que mon \(\overrightarrow{DJ}\) c'est \(\overrightarrow{DA}\), qui est une arête principale, plus \(\overrightarrow{AJ}\) qui est exprimé en fonction d'arêtes principales. Donc mon \(\overrightarrow{DJ}\) ça va me faire plus \(\overrightarrow{DA}\), yes j'ai gagné une arête principale, plus \(\overrightarrow{AJ}\). Et je continue.

Comment simplifier une expression vectorielle pour prouver la colinéarité ?

Donc moins un tiers de \(\overrightarrow{AB}\), plus moins un tiers de \(\overrightarrow{BF}\)... sauf que \(\overrightarrow{BF}\) c'est \(\overrightarrow{AE}\). Donc moins un tiers de \(\overrightarrow{AE}\). Plus \(\overrightarrow{DA}\), donc \(\overrightarrow{DA}\) que je vais laisser comme ça. Plus \(\overrightarrow{AJ}\) qui vaut un tiers de \(\overrightarrow{AB}\) plus \(\overrightarrow{AD}\). Donc plus un tiers de \(\overrightarrow{AB}\) plus \(\overrightarrow{AD}\). Donc là vous vous dites, on est foutus.

Sauf que regardez. J'ai déjà un \(\overrightarrow{DA}\) et un \(\overrightarrow{AD}\) qui vont se simplifier parce que \(\overrightarrow{AD}\) c'est moins \(\overrightarrow{DA}\). Donc celui-là et celui-là, ils se simplifient. Moins un tiers de \(\overrightarrow{AB}\) plus un tiers de \(\overrightarrow{AB}\), ça se simplifie aussi. Il me reste juste moins un tiers de \(\overrightarrow{AE}\). Sauf que le vecteur \(\overrightarrow{AE}\), c'est quoi ? Ben c'est exactement le vecteur \(\overrightarrow{BF}\). Bingo.

Donc, je suis parti du fait que mon vecteur \(\overrightarrow{IJ}\), ça valait ça. J'ai tout exprimé soit en fonction des arêtes principales, soit en fonction d'autres arêtes qui me permettaient de trouver des arêtes principales, et j'arrive à \(\overrightarrow{IJ}\) égal moins un tiers de \(\overrightarrow{BF}\). Donc les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{BF}\) sont colinéaires. On vous a mis des exercices similaires en dessous où il faut trouver le coefficient. Entraînez-vous, ça ça tombe au contrôle. On va le faire avec toutes les figures possibles. À vous de jouer, vous êtes les champions.