7. Montrer que deux vecteurs sont colinéaires (avec les cordonnées)

Comment montrer que deux vecteurs de l'espace sont colinéaires ?

Allez les amis, on est partis pour reprendre un exercice qu'on a déjà fait, qui vous demande de montrer que deux vecteurs sont colinéaires sachant qu'on vous a donné des indications pour construire les points \(I\) et \(J\) de ces deux vecteurs, et on va le faire en utilisant les coordonnées, on s'y met tout de suite.

Je vous rappelle que pour montrer que deux vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{BF}\) sont colinéaires, vous avez deux options. Soit vous procédez avec les coordonnées, ce que nous allons faire, soit vous procédez en écrivant que \(\vec{IJ}\) est égal à quelque chose fois \(\vec{BF}\), avec ce quelque chose qui est un nombre réel différent de zéro.

Dans ce cas-là, on va faire autrement. On va commencer par placer \(I\) et \(J\) puis on va faire une technique de bourrin qui consiste à dire : bon ben on va trouver les coordonnées de tous ces points. Ensuite on va faire une équation avec cette ligne-là et une équation avec cette ligne-là pour trouver les coordonnées de \(I\) et \(J\). Une fois qu'on aura les coordonnées de \(I\) et de \(J\), on pourra calculer les coordonnées de ce vecteur-là et de ce vecteur-là, et vérifier s'ils sont colinéaires en utilisant la fiche.

Je commence par positionner \(\vec{DI}\). Pour avoir mon point \(I\), je pars de \(D\) et je fais un tiers de \(\vec{AF}\), donc \(\vec{AF}\) c'est ma grande diagonale là. Donc pour avoir mon point \(I\), je pars de \(D\) et je fais un tiers de cette grande diagonale. J'arrive à peu près ici.

Pour avoir mon point \(J\), je pars de \(A\) et je fais un tiers de \(\vec{AB}\), donc un tiers de ce chemin-là, j'arrive à peu près là, plus \(\vec{AD}\). Donc la petite diagonale là, j'arrive ici. Je me retrouve bien avec mon vecteur \(\vec{IJ}\) qui est ce vecteur.

On se rend compte que \(\vec{BF}\) et \(\vec{IJ}\), celui-là et celui-là, ils ont quand même l'air vachement colinéaires. Prouvons-le maintenant. On commence par trouver toutes les coordonnées de ces points-là, \(A\), \(F\), \(B\), \(D\), et ainsi de suite. Ensuite on va faire un système d'équations pour trouver \(I\) et \(J\), et ensuite une fois qu'on aura \(I\) et \(J\), on pourra calculer ces coordonnées-là et ces coordonnées-là, et montrer que les vecteurs sont bien colinéaires.

Comment déterminer les coordonnées des points dans un repère de l'espace ?

Pour trouver les coordonnées, il nous faut une base. Notre base à nous ça va être \((A ; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\). C'est-à-dire qu'on va exprimer les coordonnées des points dans cette base-là.

On commence avec le point \(A\). Le point \(A\), ses coordonnées c'est \((0 ; 0 ; 0)\). En effet c'est l'origine du repère.

Le point \(B\), c'est une fois ça, zéro fois ça et zéro fois ça, donc ça va être \((1 ; 0 ; 0)\).

Le point \(D\), c'est zéro fois ça, une fois ça, zéro fois ça, donc ça va être \((0 ; 1 ; 0)\).

Le point \(F\), c'est une fois ça et une fois \(\vec{AE}\), sans faire le coup du \(D\), donc ça me fait \((1 ; 0 ; 1)\).

Et je crois que c'est tout ce dont on a besoin. Ouais, c'est nickel. Mon point \(J\), je vais le réécrire en dessous là pour que ça soit quand même visible. Et on s'y met.

Comment calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle ?

Le vecteur \(\vec{AF}\), ses coordonnées ça va être quoi ? Ben mon vecteur \(\vec{AF}\) ça va être les coordonnées de \(F\) moins celles de \(A\). Celles de \(A\) c'est facile, c'est \((0 ; 0 ; 0)\). Donc mon vecteur \(\vec{AF}\) ça va être \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Une fois ça, zéro fois ça, une fois ça. Nickel.

Mon vecteur \(\vec{AB}\), ça va être les coordonnées de \(B\) moins celles de \(A\), donc \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Mon vecteur \(\vec{AD}\), ça va être les coordonnées de \(D\) moins celles de \(A\), donc ça va être \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Et c'est parti. Je fais une équation. La première : \[\vec{DI} = \frac{1}{3} \vec{AF}\]

Ça, ça veut dire que les coordonnées de \(I\) moins celles de \(D\). Donc \(x_I\) moins celle de \(D\), c'est-à-dire \(x_I - 0\). \(y_I\) moins la coordonnée de \(D\), \(1\). Et \(z_I\) moins la coordonnée de \(D\), donc \(0\). Tout ça, \(\vec{DI}\), ça vaut un tiers de \(\vec{AF}\). Donc un tiers de \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Et un tiers fois \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), ça me fait, n'oubliez pas que quand vous avez un coefficient devant un vecteur, il multiplie toutes les coordonnées, donc \(\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\).

J'ai directement un système qui est de dire que, forcément, ben mon \(x_I - 0\) il vaut \(\frac{1}{3}\), donc la coordonnée en \(x\) de \(I\) elle vaut \(\frac{1}{3}\). La coordonnée de \(y\) en \(I\) moins \(1\) elle vaut \(0\), du coup la coordonnée en \(y\) de \(I\) elle vaut \(1\). La coordonnée en \(z\) de \(I\) moins \(0\) elle vaut \(\frac{1}{3}\), donc la coordonnée en \(z\) de \(I\) elle vaut \(\frac{1}{3}\).

Et du coup, je viens de gagner les coordonnées de mon point \(I\). Les coordonnées de mon point \(I\), c'est \(I\left(\frac{1}{3} ; 1 ; \frac{1}{3}\right)\). Et en réalité, \(I\), regardez, on a bien fait un tiers, ensuite on avance de un et ensuite on monte en verticale de un tiers. Donc c'est cohérent.

On recommence avec les coordonnées de \(J\). Donc on va appliquer exactement le même système qu'on a déjà vu dans une compétence précédente. Mon vecteur \(\vec{AJ}\), c'est les coordonnées de \(J\) moins celles de \(A\). Donc, les coordonnées de \(J\) je vais les noter \(x_J\), \(y_J\), \(z_J\), moins celles de \(A\) donc moins \(0\), \(0\), \(0\), est égal à un tiers de \(\vec{AB}\), donc un tiers du vecteur \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) plus mon vecteur \(\vec{AD}\), donc plus \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Et là, ça se fait tout seul. Le un tiers il arrive ici. Et il n'y a plus qu'à faire notre système qui nous dit du coup que \(x_J = \frac{1}{3} + 0\), donc \(x_J = \frac{1}{3}\). \(y_J = 0 + 1\), donc \(y_J = 1\). Et \(z_J = 0 + 0\), \(z_J = 0\).

Et j'ai les coordonnées de mon point \(J\). Les coordonnées de mon point \(J\), c'est \(J\left(\frac{1}{3} ; 1 ; 0\right)\). Et je peux effacer mon système. C'est formidable, j'ai bien les coordonnées de mon point \(I\) et les coordonnées de mon point \(J\).

Je vérifie rapidement si celles de \(J\) elles sont bonnes. Donc d'après ces coordonnées, pour arriver à \(J\), je fais un tiers de \(\vec{AB}\) et une fois le vecteur \(\vec{AD}\). Nickel, j'arrive bien sur mon vecteur \(J\).

Comment prouver la colinéarité de deux vecteurs avec leurs coordonnées ?

J'ai les coordonnées de ces points-là, j'ai les coordonnées de \(B\) et de \(F\), je vais donc pouvoir calculer les coordonnées de \(\vec{IJ}\) et les coordonnées de \(\vec{BF}\).

Donc les coordonnées de \(\vec{IJ}\), c'est tout simplement celles de \(J\) moins celles de \(I\). Donc \(\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0\). \(1 - 1 = 0\). \(0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\).

Ensuite les coordonnées de \(\vec{BF}\). Les coordonnées de \(\vec{BF}\), c'est celles de \(F\) moins celles de \(B\). Donc \(F\) c'est \((1 ; 0 ; 1)\) moins celles de \(B\) donc \((1 ; 0 ; 0)\). \(1 - 1\), ça fait \(0\). \(0 - 0\) ça fait \(0\). Et \(1 - 0\) ça fait \(1\).

Donc là, on a les coordonnées de \(\vec{IJ}\), on a les coordonnées de \(\vec{BF}\). On se rend compte, sans avoir à faire les quotients, et de toute façon on ne pourrait pas faire les quotients parce qu'il y a des zéros, que ce vecteur-là, si je le multiplie par \(-\frac{1}{3}\), j'obtiens ce vecteur-là. En effet, \(0 \times \left(-\frac{1}{3}\right)\) ça fait \(0\), \(0 \times \left(-\frac{1}{3}\right)\) ça fait \(0\), et \(1 \times \left(-\frac{1}{3}\right)\) ça fait \(-\frac{1}{3}\).

Donc on a directement le vecteur \[\vec{IJ} = -\frac{1}{3}\vec{BF}\]

Donc les vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{BF}\) sont colinéaires. Vous venez de voir la deuxième technique pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires, celle qui consiste à passer par les coordonnées. On vous a mis des petits exercices en dessous, c'est des trucs où il faut avoir les nerfs solides, on fait cinquante mille erreurs.