10. Montrer que deux droites sont confondues ou parallèles

Comment étudier la position relative de deux droites dans l'espace ?

Allez les amis, on est parti pour étudier la position relative de deux droites et plus précisément le cas où ces droites sont confondues ou parallèles. On s'y met tout de suite.

Alors, il faut bien que vous compreniez que chaque fois qu'on va vous demander la position relative de deux droites, il faut que vous regardiez la fiche dans la case droite versus droite et que vous vous disiez que ces droites, finalement, elles sont soit parallèles, soit confondues, soit sécantes, soit non coplanaires.

On va d'abord voir le cas parallèle ou confondues. Deux droites parallèles ou confondues, on le sait parce que leurs vecteurs directeurs, donc le vecteur directeur de \( (JI) \) ça pourrait être le vecteur \( \overrightarrow{JI} \) et \( (BC) \) ça pourrait être le vecteur \( \overrightarrow{BC} \), ils sont colinéaires.

Comment savoir si deux droites sont strictement parallèles ou confondues ?

Ensuite, on fera la différence entre confondues ou parallèles en trouvant une infinité de points de passage ou aucun point de passage. Mais la première chose à se demander c'est, est-ce que les vecteurs directeurs sont colinéaires ou non colinéaires ?

Pour regarder si les vecteurs \( \overrightarrow{JI} \) et \( \overrightarrow{BC} \) sont colinéaires, vous avez deux options : soit vous le faites avec les coordonnées, soit vous le faites sans les coordonnées.

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires sans les coordonnées en Terminale ?

Dans cet exercice-là, on va le faire avec la première technique, celle qui consiste à partir du premier, par exemple \( \overrightarrow{JI} \), travailler, travailler, travailler et arriver à quelque chose fois le deuxième, donc quelque chose fois \( \overrightarrow{BC} \).

Ici, mon vecteur \( \overrightarrow{JI} \), je vais dire que \( \overrightarrow{JI} \) c'est comme finalement \( \overrightarrow{JD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AI} \). Je vais faire un petit Chasles.

Donc je vous rappelle encore une fois, même si on l'a déjà vu dans la compétence pour montrer que des vecteurs sont colinéaires, que ce que vous avez à votre disposition comme outils dans ce genre d'exercice pour montrer que \( \overrightarrow{JI} = k \times \overrightarrow{BC} \), c'est trois choses :

• Premièrement, les propriétés de la figure. Ici, le fait que ce soit une pyramide à base carrée.
• Deuxièmement, les propriétés de l'énoncé. Donc notamment le fait de savoir que \( I \) et \( J \) sont les milieux de \( [AE] \) et \( [DE] \).
• Troisièmement, la fameuse relation de Chasles, qui vous permet de péter un vecteur en plusieurs morceaux.

C'est cette relation de Chasles dont je me suis servi ici. Donc \( \overrightarrow{JI} = \overrightarrow{JD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AI} \). Vous voyez, je fais une pause à chaque fois par \( D \), puis par \( A \). Et je continue.

Vu que \( J \) est au milieu de \( [ED] \), \( \overrightarrow{JD} \) c'est la moitié de \( \overrightarrow{ED} \). Donc j'ai \( \frac{1}{2}\overrightarrow{ED} \). Plus \( \overrightarrow{DA} \). Plus \( \overrightarrow{AI} \), qui est lui-même la moitié de \( \overrightarrow{AE} \).

Donc, je me retrouve avec \( \frac{1}{2}\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{AE} \). Sauf que \( \frac{1}{2}\overrightarrow{ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AE} \), ça me fait \( \frac{1}{2}(\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED}) \).

Et là, j'ai quasiment fini parce que \( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} \), ça me fait \( \overrightarrow{AD} \) d'après Chasles. Plus \( \overrightarrow{DA} \).

Sauf que \( \overrightarrow{DA} \) c'est \( -\overrightarrow{AD} \). Donc ça me fait \( \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} \).

Une demi-pomme moins une pomme, ça me fait moins une demi-pomme. Et j'ai bien montré que \( \overrightarrow{JI} \) et \( \overrightarrow{AD} \)... ben c'est super parce que c'était pas du tout ça dont on avait besoin !

Sauf que \( \overrightarrow{AD} \) c'est \( \overrightarrow{BC} \). Donc ça me fait \( -\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \).

Et on a bien \( \overrightarrow{JI} \) qui vaut \( -\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \). Donc les vecteurs \( \overrightarrow{JI} \) et \( \overrightarrow{BC} \) sont colinéaires. Donc les droites \( (JI) \) et \( (BC) \) sont soit colinéaires, soit confondues. Sauf qu'il n'y a pas de point d'intersection entre \( (JI) \) et \( (BC) \), donc ces droites-là ne sont pas confondues, elles sont strictement colinéaires.

On vous a mis des petits exercices en dessous. C'est vraiment pas compliqué, on s'entraîne essentiellement à passer par de la colinéarité de vecteurs. Faites-le, vous allez voir ça va vous faire du bien. À vous de jouer, vous êtes des champions !