8. Montrer que des vecteurs sont coplanaires avec une combinaison linéaire

Comment montrer que des vecteurs sont coplanaires en Terminale ?

Allez les amis, on est parti pour une première technique pour montrer que des vecteurs sont coplanaires. C'est celle de la combinaison linéaire, on s'y met tout de suite.

Comme indiqué dans la fiche, vous avez grosso modo deux techniques pour montrer la coplanarité de vecteurs. La première, c'est de passer par une combinaison linéaire. C'est-à-dire, par exemple, si vous voulez montrer que ces trois vecteurs-là sont coplanaires, il faut que vous arriviez à écrire le premier comme quelque chose fois le deuxième plus quelque chose fois le troisième. Genre \( \overrightarrow{AB} = a \times \overrightarrow{CD} + b \times \overrightarrow{EF} \).

Ou alors, vous avez la technique des coordonnées, qui est plus compliquée et qui consiste à faire un système pour montrer qu'il existe \( a \) et \( b \) tels que le premier est égal à \( a \) fois le deuxième plus \( b \) fois le troisième.

Quelle est la méthode de la combinaison linéaire pour des vecteurs coplanaires ?

On va faire la première technique, la technique de la combinaison linéaire. Un petit rappel : des vecteurs coplanaires, c'est des vecteurs qui, d'une manière ou d'une autre, pourraient faire un plan si jamais on réussissait à les coller les uns contre les autres.

Vous voulez démontrer que l'un de ces vecteurs, par exemple \( \overrightarrow{CB} \), est une combinaison linéaire des deux autres. Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va partir de \( \overrightarrow{CB} \). Et on va dire : je ne sais pas ce que je dois faire, mais ce que je veux à la fin, c'est avoir quelque chose fois mon vecteur \( \overrightarrow{AE} \), plus quelque chose fois mon vecteur \( \overrightarrow{AF} \).

Tout ce que je sais que j'ai le droit d'utiliser, c'est les éventuelles relations de l'énoncé, c'est les propriétés de la figure et c'est la relation de Chasles.

Comment démontrer que 3 vecteurs sont coplanaires avec la relation de Chasles ?

Donc moi je commence avec une propriété de la figure. Je me dis : bon, je veux du \( E \), je veux du \( F \), pourquoi est-ce que \( \overrightarrow{CB} \), vu qu'on est dans un prisme droit, je ne dirais pas que c'est exactement la même chose que \( \overrightarrow{FE} \) ? Donc \( \overrightarrow{CB} \) c'est \( \overrightarrow{FE} \).

Oui, mais sauf que \( \overrightarrow{FE} \), moi, rappelez-vous, je veux du \( \overrightarrow{AE} \) et du \( \overrightarrow{AF} \). \( \overrightarrow{FE} \), \( \overrightarrow{AE} \), \( \overrightarrow{AF} \), ça ne vous dit rien ? Eh bien Chasles ! \( \overrightarrow{FE} \), c'est \( \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AE} \). Donc \( \overrightarrow{FE} \) c'est \( \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AE} \).

Eh bien du coup, mon \( \overrightarrow{CB} \) c'est \( \overrightarrow{AE} \) une fois, plus \( \overrightarrow{FA} \)... combien de fois ? Eh bien, moins une fois. Donc j'ai bien \( \overrightarrow{CB} \) comme une combinaison linéaire de \( \overrightarrow{AE} \) et de \( \overrightarrow{AF} \). Donc j'ai bien les vecteurs \( \overrightarrow{CB} \), \( \overrightarrow{AE} \) et \( \overrightarrow{AF} \) qui sont coplanaires.

C'est aussi simple que ça. En tout cas dans cet exercice, vous allez voir qu'en dessous on vous a mis des petits cas de figure où c'est un peu plus compliqué. N'empêche, vous êtes plus forts que ce que vous pensez. À vous de jouer, vous êtes des champions.