17. Montrer qu'un point appartient à un plan

Comment montrer qu'un point appartient à un plan dans l'espace ?

Allez les amis, on est partis pour voir ces exos typiques où vous devez démontrer qu'un point appartient à un plan, sachant qu'on vous a donné une figure, des informations sur des points, par exemple qui sont au milieu d'un segment, et des informations sur des points grâce à des relations vectorielles. On se fait ça tout de suite.

Montrer qu'un point appartient à un plan, c'est montrer finalement que les trois vecteurs que vous arrivez à faire avec ces quatre points là, \(M\), \(A\), \(C\), et \(D\), sont coplanaires. Et pour montrer que des vecteurs sont coplanaires, il faut montrer qu'on peut écrire l'un comme une combinaison des deux autres. C'est-à-dire que l'un, comme deux fois le deuxième plus trois fois le troisième par exemple.

Comment est-ce qu'on va faire ça ? Eh bien on va d'abord trouver quels sont les vecteurs qu'on va montrer comme étant coplanaires. Donc là on veut montrer que le point \(M\) appartient au plan \((ACD)\), donc on peut montrer par exemple que \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Ça c'est une option. Moi ce que je vais essayer de montrer, c'est que :

L'énoncé est bien fait puisque j'ai un \(\overrightarrow{AM}\) ici, donc je vais partir de là, je vais partir de cette égalité. Je vais travailler, travailler, travailler, jusqu'à ce que j'arrive à quelque chose de cette forme-là. Trois choses que vous pouvez utiliser : premièrement, les propriétés de la figure. Donc c'est un tétraèdre, \(I\) est le milieu. Deuxièmement, les relations de l'énoncé, donc cette formule-là notamment. Et troisièmement, Chasles. C'est Chasles qui va vous permettre de simplifier ou de développer des vecteurs.

Quelle méthode choisir pour prouver que des vecteurs sont coplanaires ?

Une technique de bourrin, c'est de dire : bon, c'est pas compliqué, si je veux montrer que \(\overrightarrow{AM}\) est égal à \(\overrightarrow{AC}\) fois \(\overrightarrow{AD}\), je développe \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) dans une base. Le problème, c'est que ça, ça marche bien pour montrer que des vecteurs sont colinéaires. Donc par exemple si vous vouliez montrer juste ça, \(\overrightarrow{AM}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{AC}\), ça vaudrait le coup de tout développer dans la même base et de vérifier si l'un est égal à quelque chose fois l'autre.

C'est beaucoup plus compliqué quand on veut montrer que des vecteurs sont coplanaires. C'est-à-dire que c'est beaucoup plus compliqué quand on veut montrer qu'un vecteur est égal à quelque chose fois le deuxième plus quelque chose fois le troisième. Là on ne veut pas faire ça. On est obligés de dire : je pars de là, donc je pars de \(\overrightarrow{AM}\), et je vais travailler, travailler, travailler jusqu'à ce que j'arrive à avoir cette expression-là.

Comment utiliser la relation de Chasles et les milieux pour simplifier une expression vectorielle ?

Donc on commence. On a envie tout naturellement d'utiliser cette expression-là :

Moi je commence. \(2\overrightarrow{AI}\), ça me fait \(2(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CI})\). Pourquoi est-ce que je fais ça ? Parce que j'ai un \(\overrightarrow{AC}\) là. Donc j'ai tout intérêt à dire que pour aller de \(A\) à \(I\), je passe par le point \(C\) puisque ça me fait apparaître un vecteur \(\overrightarrow{AC}\). Donc \(2(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CI})\).

Je continue, \(\overrightarrow{BD}\) je le laisse comme ça, et mon \(-2\overrightarrow{CD}\) je vais le transformer en \(+2\overrightarrow{DC}\) parce que j'ai un instinct. Si vous ne le faites pas c'est pas grave, vous l'auriez fait plus tard, vous auriez vu à un moment que c'était intéressant. Je continue.

Mon \(2(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CI})\). \(\overrightarrow{CI}\), moi je vais dire qu'en fait, c'est \(\frac{\overrightarrow{CB}}{2}\). Donc mon \(\overrightarrow{CI}\) je vais le remplacer par \(\frac{\overrightarrow{CB}}{2}\). Ça me fait :

Donc je développe, ça me fait \(2\overrightarrow{AC} + 2\frac{\overrightarrow{CB}}{2}\). Donc \(+ \overrightarrow{CB}\). Plus \(\overrightarrow{BD}\), plus \(2\overrightarrow{DC}\).

Je continue. Mon \(2\overrightarrow{AC}\) je n'y touche pas puisque je l'ai là, vous voyez que j'ai un \(2\overrightarrow{AC}\). Donc mon \(2\overrightarrow{AC}\) je le laisse, il est très bien comme ça. Et je vais m'attaquer au reste. \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}\), et là je vais faire un truc, c'est que je me dis mais \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}\), ça fait un Chasles ! Regardez, là j'ai un \(B\) que je retrouve ici, là j'ai un \(D\) que je retrouve là.

Donc le seul truc qui m'embête c'est ce \(2\). Mais c'est pas grave, je vais dire que \(2\overrightarrow{DC}\) c'est \(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DC}\). Et j'ai bien un \(B\) que je retrouve là, et un \(D\) que je retrouve là. Donc en fait, ce vecteur \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}\), c'est en fait le vecteur qui va de \(C\) jusqu'à \(C\). Et un vecteur qui va de \(C\) jusqu'à \(C\), c'est le vecteur nul, je peux barrer ! Et oui, si je vais de Nice jusqu'à Nice, je me suis déplacé de zéro. Et je parle de Nice parce que c'est l'été et que j'ai grave envie d'être à la plage.

Comment conclure sur la coplanarité et l'appartenance au plan ?

Donc \(2\overrightarrow{AC}\) je le laisse. Et là je finis. \(\overrightarrow{DC}\), c'est finalement, je le voulais en fonction de \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\), donc c'est \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}\). Et là je suis content parce que mon \(\overrightarrow{AC}\) il va se remettre ici, ça me fait \(3\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA}\).

Et j'ai bien exprimé mon vecteur \(\overrightarrow{AM}\) en fonction de mon vecteur \(\overrightarrow{AC}\) (\(3\overrightarrow{AC}\)) plus le vecteur \(\overrightarrow{AD}\) (\(+\overrightarrow{DA}\)). Et pour ceux qui diraient "oui mais monsieur c'est pas \(\overrightarrow{AD}\) c'est \(+\overrightarrow{DA}\)", je dis c'est pas grave parce que \(+\overrightarrow{DA}\) c'est comme \(-\overrightarrow{AD}\). Et j'ai bien moins une fois \(\overrightarrow{AD}\).

Donc les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires. Donc les points \(M\), \(A\), \(C\), et \(D\) sont coplanaires. Donc vu que ces points sont coplanaires, le point \(M\) appartient bien au même plan que \(A\), \(C\), \(D\), le plan \((ACD)\).

On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer. Souvenez-vous que les trois règles importantes pour cet exercice c'est : utiliser la figure, utiliser les propriétés de l'énoncé, et utiliser Chasles pour péter des vecteurs. Par exemple là mon vecteur \(\overrightarrow{AI}\) je l'ai pété en \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CI}\), en le pétant toujours de manière à retrouver des vecteurs que je veux avoir à la fin. À vous de jouer, vous êtes des champions !