19. Justifier que trois vecteurs constituent une base de l'espace

Comment montrer que trois vecteurs forment une base de l'espace en Terminale ?

Allez les amis, on est partis pour voir très rapidement comment trois vecteurs forment une base de l'espace. On s'y met tout de suite.

On va le faire en deux coups. Le premier coup, ça va être de vérifier que ces deux vecteurs-là, par exemple \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\), ne sont pas colinéaires. Une fois qu'on a vérifié qu'ils n'étaient pas colinéaires, on va montrer que \(\vec{u}\) ne peut pas s'écrire comme une combinaison de \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\). Autrement dit, que \(\vec{u}\) n'est pas dans le même plan que \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

Regardez. Si \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont non colinéaires, par exemple s'ils sont comme ça, s'ils ne sont pas dans la même direction, ils dessinent un plan. Maintenant, si j'arrive à montrer que \(\vec{u}\), mon vecteur, n'est pas coplanaire avec ces deux-là, c'est-à-dire qu'il n'est pas dans ce plan, mais qu'il est légèrement crochu par rapport à ce plan, j'ai bien ces trois vecteurs-là qui me permettent d'aller dans les trois directions de l'espace. Un dans cette direction, l'autre dans cette direction, et le troisième pour sortir du plan. Donc, j'ai juste à montrer que ces deux-là ne sont pas colinéaires et que le troisième n'est pas coplanaire avec les deux premiers.

Comment vérifier que deux vecteurs de l'espace ne sont pas colinéaires ?

Le fait que \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne soient pas colinéaires, ça se voit tout de suite. Pour passer de \(1\) à \(0\), il faudrait que je multiplie par \(0\), et pour passer de \(2\) à \(2\), il faudrait que je multiplie par \(1\). Donc on voit que les coordonnées de \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas proportionnelles. Donc \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas colinéaires. Ça, c'est un premier point.

Donc en fait, j'ai \(\vec{v}\) qui est comme ça, et \(\vec{w}\) qui est comme ça. Je n'ai plus maintenant qu'à montrer que mon vecteur \(\vec{u}\), le troisième, est dans une autre direction. Si j'ai ça, j'ai bien ma base de l'espace.

Comment démontrer que trois vecteurs de l'espace ne sont pas coplanaires ?

Comment on va montrer ça ? Eh bien, on va supposer que le vecteur \(\vec{u}\) est coplanaire avec \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\). Donc on va dire : supposons que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires. Et on va montrer qu'on arrive à un résultat qui ne fonctionne pas.

S'ils sont coplanaires, ça veut dire, d'après la définition, que \(\vec{u} = a \times \vec{v} + b \times \vec{w}\), avec \(a\) et \(b\) des réels. Donc, ça veut dire que :

Vous savez que quand je multiplie un vecteur par un nombre, je multiplie toutes ses coordonnées par ce nombre. Donc là, j'ai du \(0 \times b\), \(2 \times b\), \(2 \times b\). Et ça me permet d'écrire le système : \(1 = a + 0 \times b\), donc \(1 = a\). Ensuite, \(0 = 2a + 2b\). Et enfin, \(1 = 0 \times a + 2b\), donc \(1 = 2b\).

Donc là, j'arrive directement à \(b = \frac{1}{2}\). \(a\) vaut \(1\). Sauf que quand je remets \(a\) et \(b\) là-dedans : \(2 \times a\), donc \(2 \times 1\), ça fait \(2\), plus \(2 \times b\), donc plus \(2 \times \frac{1}{2}\), ça fait \(1\). Est-ce que \(2 + 1\) ça fait \(0\) ? Non. Donc il n'y a pas de solution à \(\vec{u} = a \times \vec{v} + b \times \vec{w}\).

Donc \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires. Or \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) forment un plan, donc \(\vec{u}\) permet de sortir du plan qui est formé par \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\). Du coup, \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) nous permettent d'atteindre les trois directions de l'espace. Donc \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont une base de l'espace.

Je répète, pour montrer que trois vecteurs forment une base de l'espace, on montre que deux ne sont pas colinéaires, et que les trois ne sont pas coplanaires. Et la vie est belle, c'est torché en quatre minutes. À vous de jouer, on vous a mis des exercices en dessous, vous êtes des champions.