13. Étudier la position relative de deux plans

Comment savoir si deux plans sont parallèles ou sécants en géométrie dans l'espace ?

Allez les amis, on est partis pour voir très rapidement comment étudier la position relative de deux plans. On s'y met tout de suite.

Deux plans, ils sont soit parallèles, soit non parallèles. Pour l'étudier, on vous a fait une petite fiche et vous voyez que, finalement, il n'y a qu'une seule question à se poser.

Dans le cas de deux plans qui sont parallèles, je peux trouver deux droites du premier qui sont sécantes, vous voyez ces droites-là, elles se touchent ici, et qui sont en même temps parallèles à ce plan-là. C'est-à-dire que cette droite-là, la première, elle est parallèle là, et la deuxième, elle est parallèle là. Dans ce cas-là, les deux plans sont parallèles. Si je n'arrive pas à trouver ces conditions, c'est que les deux plans sont sécants.

Donc pour vérifier si deux plans sont parallèles, je prends deux droites du premier qui sont sécantes, et je regarde si pour chacune de ces droites j'arrive à montrer qu'elle est parallèle au plan d'en face.

Comment démontrer que deux plans sont parallèles avec l'exemple d'un cube en Terminale Spécialité ?

Donc, quand on vous demande de démontrer que les plans \((ADEH)\) et \((BCFG)\) sont parallèles. On veut essayer de montrer que ce plan-là, \((ADEH)\), et \((BCFG)\) sont parallèles, ce qui semble assez évident quand on regarde comme ça les faces d'un cube, elles sont parallèles.

On va dire : je prends deux droites de, par exemple, \((ADEH)\), et je vais montrer que ces droites-là sont sécantes. Ensuite, je vais prendre chacune des deux droites qui sont sécantes dans ce plan-là, montrer qu'elles sont parallèles au plan de droite. C'est-à-dire que je vais trouver dans le plan de droite une droite qui est parallèle à la droite qui m'intéresse, et ensuite je conclurai que ces deux plans sont parallèles.

Donc les deux droites que je vais prendre sans me prendre la tête, c'est \((AE)\) par exemple et \((AD)\). Pourquoi je sais qu'elles sont sécantes ? Parce que d'après les propriétés du carré ou du rectangle, deux arêtes consécutives sont perpendiculaires, du coup elles ne sont pas parallèles, et en plus de ça, le point \(A\), il est clairement sur \((AD)\) et sur \((AE)\). Donc je peux dire sans hésiter que les droites \((AD)\) et \((AE)\) sont sécantes. J'ai le premier bout.

Maintenant il faut que je montre que \((AD)\) est parallèle au plan \((BCFG)\), et que \((AE)\) est parallèle au plan \((BCFG)\).

Pour montrer que \((AD)\) est parallèle à un plan \((BCFG)\), c'est la compétence qu'on a vue juste avant. Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, j'ai juste à trouver dans le plan une droite, par exemple \((BC)\), qui est parallèle à la droite qui m'intéresse. Donc là j'ai clairement \((BC)\) qui est parallèle à \((AD)\), d'après les propriétés des faces. Donc forcément ma droite \((AD)\), elle est parallèle au plan \((BCFG)\).

De la même manière, pour \((AE)\), quelle droite de \((BCFG)\) est parallèle à la droite \((AE)\) ? Ben au choix, soit la droite \((BF)\), soit la droite \((CG)\). Donc \((BF)\) est parallèle à ma droite \((AE)\), donc je peux en conclure que \((AE)\), ma droite, est parallèle à \((BCFG)\), mon plan.

Donc j'ai bien deux droites, une et deux, qui sont parallèles au plan \((BCFG)\) et qui sont sécantes. Du coup le plan de ces deux droites, c'est-à-dire le plan \((ADEH)\), est bien parallèle au plan \((BCFG)\). Et c'est aussi simple que ça.

On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.