12. Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

Quelles sont les différentes positions relatives d'une droite et d'un plan en Terminale ?

Pour une droite et un plan, il n'y a que trois possibilités. Elles sont soit strictement parallèles, soit confondues, soit non parallèles. La première chose à faire, c'est de se demander : est-ce que, dans mon plan, je peux trouver une droite qui est parallèle à la droite que je recherche ?

Comment savoir si une droite est strictement parallèle à un plan ?

Par exemple, est-ce que dans le plan \( ABEF \), je peux trouver une droite qui est parallèle à \( (DC) \) ? Je cherche dans le plan \( ABEF \), est-ce que j'ai une droite qui est parallèle à \( (DC) \) ? Oui, j'ai une droite qui est parallèle à \( (DC) \), c'est la droite \( (AB) \). Donc je sais déjà que je suis dans une des deux premières possibilités, c'est-à-dire qu'elles sont soit strictement parallèles, soit confondues.

Maintenant, est-ce qu'elles sont strictement parallèles ou est-ce qu'elles sont confondues ? Si elles sont confondues, ça veut forcément dire qu'il y a un point d'intersection. Mieux, si elles sont confondues, tous les points de la droite, donc tous les points de \( (DC) \), devraient être dans ce plan. Il suffit donc que j'en trouve un seul, par exemple le point \( D \), qui n'est pas dans le plan \( ABEF \), pour montrer qu'il existe un point de la droite \( (DC) \) qui n'est pas dans \( ABEF \). Donc tous les points de la droite \( (DC) \) ne sont pas dans \( ABEF \). Ce n'est pas le cas confondu, c'est le cas strictement parallèle. La droite \( (DC) \) est strictement parallèle au plan \( ABEF \).

Comment démontrer qu'une droite est confondue avec un plan ?

On continue avec la droite \( (AB) \) et le plan \( ABEF \). Je commence par me demander : est-ce que je peux trouver dans \( ABEF \) une droite qui est parallèle à la droite \( (AB) \) ? Oui, par exemple la droite \( (EF) \). Je suis donc dans les deux premiers cas : soit elles sont strictement parallèles, soit elles sont confondues.

Est-ce qu'il y a un point de \( (AB) \) qui est dans \( ABEF \) ? Oui, cette droite \( (AB) \) a un point qui est dans \( ABEF \), c'est par exemple le point \( A \), mais aussi le point \( B \), et puis tous les points entre \( A \) et \( B \). Donc, la droite \( (AB) \) et le plan \( ABEF \) sont confondus. La droite \( (AB) \) est confondue au plan \( ABEF \).

Comment montrer qu'une droite n'est pas parallèle à un plan dans l'espace ?

Dernier cas : la droite \( (DF) \) et le plan \( ABEF \). Cette droite \( (DF) \), vous voyez qu'elle n'est pas parallèle au plan \( ABEF \). C'est-à-dire que vous voyez que cette droite \( (DF) \), qui représente en fait la diagonale de mon cube, ne va pas être parallèle à une droite du côté. La question c'est : est-ce que je le démontre ou est-ce que je ne le démontre pas ?

Dans cet exercice, on ne va pas le démontrer, parce que vous allez voir qu'en pratique, dans la plupart des cas, quand vous démontrez cela, vous utilisez les équations des droites. Vous allez montrer, en gros, que le vecteur directeur de \( (DF) \) n'est pas parallèle à un vecteur normal du plan \( ABEF \). On verra ça dans le chapitre suivant. Pour l'instant, on vous demande juste d'être capable d'identifier que cette droite \( (DF) \) n'est pas parallèle à une droite du plan \( ABEF \), et que du coup, je suis dans le troisième cas, qui est le cas des droites non parallèles au plan, et il y a forcément un point d'intersection. Donc là, je peux dire directement qu'elle est non parallèle au plan \( ABEF \).

Si j'avais voulu le démontrer, comment est-ce que j'aurais fait ? J'aurais pris un vecteur perpendiculaire à \( ABEF \). Un vecteur perpendiculaire à un plan, c'est un vecteur qui est perpendiculaire à deux vecteurs de ce plan qui sont non colinéaires. Et j'aurais montré que ce vecteur-là n'est pas colinéaire à mon vecteur \( \overrightarrow{DF} \). On va faire ça bientôt dans le chapitre sur l'orthogonalité dans l'espace, parce que pour utiliser un vecteur perpendiculaire, il faut avoir le produit scalaire, et le produit scalaire, vous ne l'avez pas encore dans l'espace.