3. Déterminer des coordonnées dans un repère

Comment déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace en Terminale ?

Allez les amis, on est parti pour voir comment donner les coordonnées d'un couple de points dans une base et comment se servir de ces coordonnées pour calculer directement les coordonnées d'un vecteur. On va passer de coordonnées de points à coordonnées de vecteurs, on s'y met tout de suite.

Pour calculer les coordonnées d'un point dans une base, par exemple pour calculer les coordonnées du point \(I\) dans la base \((A, \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\), il faut se dire qu'on va partir du point qui est le point de référence de la base, c'est-à-dire qui est le point de départ de la base. Et on va se dire : de combien de fois j'ai besoin du vecteur \(\vec{AB}\), de combien de fois j'ai besoin du vecteur \(\vec{AD}\), et de combien de fois j'ai besoin du vecteur \(\vec{AE}\) pour arriver au point \(I\).

Donc mon point \(I\), pour y arriver, je vois que le chemin le plus simple à faire en partant de \(A\), c'est de passer par là puis de passer par là. Je vais faire combien de fois le vecteur \(\vec{AB}\) ? Eh bien le vecteur \(\vec{AB}\) ici il ne me sert à rien, je n'ai pas besoin de sortir du carré qui est devant. Donc ça va être \(0\) fois le vecteur \(\vec{AB}\).

Ensuite, combien de fois le vecteur \(\vec{AD}\) ? J'ai envie de faire ce déplacement-là. Le déplacement horizontal selon le vecteur \(\vec{AD}\), je vais le faire jusqu'ici. Donc je vais faire la moitié du vecteur \(\vec{AD}\).

Et ensuite, une fois que je suis arrivé là, je n'ai plus qu'à descendre pour arriver au point \(I\). Donc je n'ai plus qu'à faire une seule fois mon vecteur \(\vec{AE}\). Et hop, j'ai les coordonnées de \(I\) dans la base \((A, \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\).

On continue, mon point \(G\) dans cette base. Comment est-ce que je fais pour arriver au point \(G\) en partant du point \(A\) ? C'est une sacrément bonne question. Moi je vous propose un chemin très simple, c'est-à-dire que je vais passer comme ça, puis je vais descendre par exemple, et je vais arriver ici.

Autrement dit, je me serais servi une fois du vecteur \(\vec{AB}\) ici, une fois du vecteur \(\vec{AD}\) ici, et une fois du vecteur \(\vec{AE}\) ici. Donc les coordonnées du point \(G\) c'est tout simplement \(1\), \(1\) et \(1\). Hop, j'ai les coordonnées du point \(G\) et j'ai les coordonnées du point \(I\).

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace à partir de deux points ?

Comment je fais pour calculer les coordonnées de \(\vec{IG}\) ? Eh bien les coordonnées de \(\vec{IG}\), c'est la formule qui s'affiche là. C'est tout simplement celles de \(G\) moins celles de \(I\). Toujours celles de la fin moins celles du début.

Donc ça va être, celles de \(G\) : \(1\) moins \(0\), ça fait \(1\). \(1\) moins \(\frac{1}{2}\), ça fait \(\frac{1}{2}\). Et \(1\) moins \(1\), ça fait \(0\). Et hop, j'ai les coordonnées de mon vecteur \(\vec{IG}\).

Donc vous voyez qu'une méthode très brutale pour trouver les coordonnées d'un vecteur, c'est de se dire : mon vecteur \(\vec{IG}\), je vais calculer vite fait les coordonnées du point \(I\), celles du point \(G\), et je vais faire la différence.

En fonction des exercices, ça peut servir. On vous en a mis juste en dessous, à vous de jouer. Vous êtes bien meilleurs que ce que vous pensez.