2. Décomposer un vecteur dans une base

Comment décomposer un vecteur dans une base avec la relation de Chasles ?

Allez les amis, on est partis pour voir comment décomposer un vecteur dans une base et comment donner les coordonnées de ce vecteur, on s'y met tout de suite.

On vous a donné une petite figure. Donc on a un triangle qui est relié à des points \( A \) et \( E \) par les sommets et on a mis un point \( I \) au milieu de la longueur \( DB \), au milieu d'une arête \( DB \). Première question, décomposer le vecteur \( \overrightarrow{ID} \) dans la base \( (A ; \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \) et deuxième question, en déduire ses coordonnées.

Donc on va se le représenter, notre vecteur \( \overrightarrow{ID} \) c'est ce petit vecteur qui est là. Décomposer un vecteur dans une base, ça veut dire que ce vecteur-là, \( \overrightarrow{ID} \), je veux qu'il soit exprimé en fonction de ce vecteur-là, ce vecteur-là et ce vecteur-là. Comment est-ce qu'on va s'y prendre ?

Eh bien on va dire, notre vecteur \( \overrightarrow{ID} \) pour commencer, c'est la moitié d'un vecteur, c'est la moitié du vecteur \( \overrightarrow{BD} \). On va commencer par écrire que \( \overrightarrow{ID} \) c'est notre vecteur \( \overrightarrow{BD} \) divisé par 2.

Pourquoi est-ce que je fais ça ? Parce que \( \overrightarrow{BD} \), ce vecteur-là, je peux le relier d'une certaine manière à \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AD} \). En effet, pour faire le vecteur \( \overrightarrow{BD} \), je sais que quand j'additionne ce vecteur avec celui-là, donc quand je fais \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \), j'obtiens le vecteur \( \overrightarrow{AD} \). Donc je peux écrire que \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \), d'après Chasles et d'après quelque chose qu'on voit très bien sur le schéma qui est que si je fais \( A \), \( B \) puis \( B \), \( D \) c'est comme si j'avais fait \( A \), \( D \), donc \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \) ça me fait \( \overrightarrow{AD} \).

Ce qui veut dire que \( \overrightarrow{BD} \) c'est \( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \). Donc j'ai \( \overrightarrow{BD} \) qui vaut \( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \).

Et pourquoi est-ce que je me suis embêté à faire ça ? Parce que mon \( \overrightarrow{BD} \), c'est celui que j'ai ici, donc maintenant j'ai \( \overrightarrow{ID} \) en fonction de \( \overrightarrow{BD} \), sauf que \( \overrightarrow{BD} \) je l'ai en fonction de \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{AB} \). Donc j'ai bien \( \overrightarrow{ID} \) en fonction de deux vecteurs qui sont dans ma base.

Donc ça me fait \( \frac{1}{2} \) parce que prendre \( \overrightarrow{BD} \) et le diviser par 2, c'est comme prendre \( \frac{1}{2} \) de \( \overrightarrow{BD} \). Donc \( \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) \), et ça, ça me fait \( \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \). Et je peux encadrer parce que j'ai bien exprimé mon vecteur \( \overrightarrow{ID} \) en fonction de \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{AB} \).

Comment trouver les coordonnées d'un vecteur à partir de sa décomposition dans une base ?

Quel est l'intérêt de faire ça ? Eh bien l'intérêt de faire ça, c'est de lire directement les coordonnées. Notre vecteur \( \overrightarrow{ID} \), il vaut \( \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \), et j'ai envie de rajouter \( + 0 \) fois mon vecteur \( \overrightarrow{AC} \).

Et une fois que vous avez mis ces vecteurs dans l'ordre \( \overrightarrow{AD} \), \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \), ce que vous lisez ici, les coefficients, ce sont les coordonnées du vecteur dans cette base. Donc mon vecteur \( \overrightarrow{ID} \) dans la base \( (A ; \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \), il a pour coordonnées \( \frac{1}{2} \), \( -\frac{1}{2} \), \( 0 \). Et je peux encadrer parce que j'ai les coordonnées de \( \overrightarrow{ID} \).

Donc ça c'est une première manière de trouver les coordonnées d'un vecteur dans une base. Une deuxième manière, ça va être de dire : on va trouver les coordonnées des points, donc le point \( I \), le point \( D \), et on va utiliser les formules qui nous permettent de trouver les coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des points qui composent ce vecteur. Mais ça c'est dans la prochaine vidéo.

En attendant, on vous a mis des petits exercices en dessous, entraînez-vous pour défoncer le contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.