4. Coordonnées d'un point à partir d'une égalité vectorielle

Comment trouver les coordonnées d'un point à partir d'une égalité vectorielle en Terminale ?

Allez les amis, on est partis pour voir comment on fait pour trouver les coordonnées d'un point sachant qu'on vous a donné une égalité vectorielle, on se fait ça tout de suite.

Ça, c'est une astuce classique. Si je vous demande de me trouver les coordonnées du point \(I\), vous pouvez vous dire : bon ben finalement, le point \(B\), ses coordonnées, elles sont faciles à trouver dans cette base. Les coordonnées du point \(B\) c'est \((1 ; 0 ; 0)\). Le point \(A\), elles sont très faciles à trouver ses coordonnées. Le point \(E\) aussi et le point \(C\) aussi. Donc finalement, je connais les coordonnées de tous les points ici sauf le point qui m'intéresse, c'est-à-dire le point \(I\).

Comment lire les coordonnées des points dans un repère de l'espace ?

Donc je vais commencer par calculer les coordonnées de ces vecteurs. Mon vecteur \(\vec{BC}\), c'est les coordonnées de \(C\) moins celles de \(B\). Les coordonnées de \(C\) dans cette base, c'est une fois le vecteur \(\vec{AB}\), une fois le vecteur \(\vec{AD}\) parce que pour arriver ici, je fais ça plus ça, donc ça plus ça. Donc une fois \(\vec{AB}\), une fois \(\vec{AD}\). Donc une fois là, zéro fois ça, une fois ça. Donc les coordonnées de \(C\) ça va être \((1 ; 0 ; 1)\).

Les coordonnées de \(B\), ça va être de manière tout aussi simple, ben une fois le vecteur \(\vec{AB}\), zéro fois le vecteur \(\vec{AE}\) et zéro fois le vecteur \(\vec{AD}\). Donc une fois, zéro fois, zéro fois. Les coordonnées du point \(E\), ça va être zéro fois \(\vec{AB}\), une fois \(\vec{AE}\) et zéro fois \(\vec{AD}\). Donc ça va être \((0 ; 1 ; 0)\). Mon point \(E\) c'est \((0 ; 1 ; 0)\). Et enfin le plus simple de tous c'est le point \(A\) qui a pour coordonnées \((0 ; 0 ; 0)\). Si je veux me rendre au point \(A\) en partant du point \(A\), je fais zéro fois le vecteur \(\vec{AB}\), zéro fois le vecteur \(\vec{AE}\) et zéro fois le vecteur \(\vec{AD}\).

Quelle est la formule pour calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace ?

Maintenant que j'ai ça, je peux calculer les coordonnées de \(\vec{BC}\) et de \(\vec{AE}\). Celles de \(\vec{BC}\), d'après la formule qui s'affiche, c'est la fin moins le début donc \(C\) moins \(B\). \(1 - 1 = 0\). \(0 - 0 = 0\). \(1 - 0 = 1\). Formidable, j'ai \(\vec{BC}\).

Les coordonnées de \(\vec{AE}\) c'est celles de \(E\) moins celles de \(A\). Donc \(0 - 0\), \(1 - 0\) et \(0 - 0\). Voilà, je remets mon petit plus au milieu.

Comment résoudre une égalité vectorielle avec un système d'équations ?

Les coordonnées de \(\vec{BI}\), c'est celles de \(I\) moins celles de \(B\). Celles de \(I\), je ne les connais pas, c'est celles que je cherche, je vais les appeler \(x\), \(y\) et \(z\). Donc les coordonnées de \(\vec{BI}\) c'est celles de \(I\) moins celles de \(B\). Donc \(x - 1\), \(y - 0\) et \(z - 0\).

Et là vous vous dites, mais bon sang pourquoi est-ce qu'on a fait ça ? Eh bien regardez, maintenant on se retrouve avec ça : \(x - 1\), \(y\), \(z\) égal, ben \(0 + 0 = 0\). \(1 + 0 = 1\). \(0 + 1 = 1\).

Donc, je me retrouve avec \(z = 1\), \(y = 1\) et \(x - 1 = 0\), donc \(x = 1\). Donc, je peux l'écrire, mon système c'est \(x - 1 = 0\), \(y = 1\) et \(z = 1\), parce que j'ai identifié bout à bout chacune des coordonnées. Et du coup, ça veut dire que \(x\) est égal à \(1\), \(y\) est égal à \(1\) et \(z\) est égal à \(1\). Donc les coordonnées de mon point \(I\) c'est \((1 ; 1 ; 1)\). Et c'est terminé, j'ai plié l'exercice.

Donc là j'ai vraiment fait une technique extrêmement brutale qui consiste à faire apparaître un système d'équations en notant \(x\), \(y\), \(z\) les coordonnées du point qu'on cherche et en utilisant les coordonnées de tous les points qu'on peut lire sur le schéma. On vous a mis des petits exercices en dessous qui suivent le même principe, à vous de jouer. Vous êtes bien meilleurs que ce que vous pensez.