0. Intégrale et aire Interactive
Avant les calculs, regarde. Quand \(f\) est positive sur \([a\,;\,b]\), l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\). Quand la courbe passe sous l'axe, cette partie compte en moins : l'intégrale vaut l'aire turquoise moins l'aire orange, alors que l'aire totale, toujours positive, est leur somme. Pour la calculer, on utilise une primitive \(F\) : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)\).
À toi d'explorer
- Avec \(x^2\), calcule \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x\) à l'aide d'une primitive, puis vérifie sur la figure.
- Avec \(\sin x\), compare l'intégrale et l'aire totale sur \([0\,;\,\pi]\), puis sur \([0\,;\,2\pi]\). Pourquoi l'intégrale devient-elle nulle ?
- Avec \(\dfrac{1}{x}\), place \(a=1\) : que vaut l'intégrale quand \(b=4\) ? Quel lien avec la fonction logarithme ?
- Avec \(\ln x\), choisis \(a=0{,}25\) et \(b=3\) : quelle partie compte en moins, et pourquoi ?
- Tape ta propre fonction, par exemple \(x^2-2x\) : sur quel intervalle son intégrale est-elle négative ?
Garde ces réponses en tête : elles résument les compétences de ce chapitre sur le calcul d'aires et d'intégrales.
Pour aller plus loin : Contrôles sur ce chapitre 🎯
Petit contrôle intégrales assez complet
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Chapitres: Intégrales
Cette page propose une figure interactive pour comprendre le calcul intégral en Terminale spécialité mathématiques. On déplace les deux bornes \(a\) et \(b\) sur un même curseur, et le domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\) se colore en direct. La figure donne l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\), l’aire sous la courbe et une primitive \(F\) de la fonction, avec la relation \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)\).
Les fonctions proposées sont celles du programme : la fonction carré, la racine carrée, la fonction inverse, l’exponentielle, le logarithme népérien et le sinus. Pour chacune, l’intégrale est donnée en valeur exacte, par exemple \(\ln 4\) pour l’intégrale de \(\dfrac{1}{x}\) entre \(1\) et \(4\), ou \(2\) pour l’intégrale de \(\sin x\) entre \(0\) et \(\pi\), avec sa valeur approchée. L’élève peut aussi saisir sa propre fonction avec le clavier mathématique du site, qui propose les puissances, la racine, l’exponentielle, le logarithme, le sinus et le cosinus.
La partie de la courbe située au-dessus de l’axe des abscisses est colorée en turquoise et compte positivement, celle située en dessous est colorée en orange et compte négativement. La figure distingue ainsi l’intégrale, égale à l’aire turquoise moins l’aire orange, et l’aire totale, toujours positive, égale à leur somme : sur \([0\,;\,2\pi]\), l’intégrale du sinus est nulle alors que l’aire vaut \(4\) unités d’aire. La valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle est également indiquée.
Des questions d’exploration accompagnent la figure et préparent les compétences du chapitre Intégrales : utiliser le calcul intégral pour calculer des aires, traiter le cas d’une fonction négative, utiliser la relation de Chasles, calculer l’aire entre deux courbes et la valeur moyenne d’une fonction, chacune accompagnée de vidéos et d’exercices corrigés.
