📖 Fiche résumée

Cette fiche de synthèse rassemble sur une seule page le chapitre de la fonction logarithme népérien de Terminale spécialité mathématiques. Elle se lit en paysage sur un ordinateur ou se découpe en deux demi-pages pour être consultée sur un téléphone, et réunit les propriétés à connaître et les méthodes demandées au baccalauréat. Le premier bloc présente le logarithme comme la fonction réciproque de l'exponentielle. L'équivalence centrale est affichée en grand : pour un réel k strictement positif, exponentielle de x égale k équivaut à x égale logarithme de k. Elle s'accompagne des deux égalités qui permettent de passer de l'une à l'autre : le logarithme de l'exponentielle de x vaut x, et l'exponentielle du logarithme de x vaut x pour x strictement positif. Un graphique représente les deux courbes, symétriques par rapport à la droite d'équation y égale x, avec la fonction logarithme en orange et l'exponentielle en turquoise. À côté, les caractéristiques de la fonction logarithme sont rangées ligne par ligne : son domaine de définition, l'intervalle des réels strictement positifs ; ses valeurs remarquables, logarithme de 1 égal à 0 et logarithme de e égal à 1 ; son sens de variation, strictement croissante ; et son signe, négatif entre 0 et 1, positif au-delà de 1. Le bloc des relations fonctionnelles donne, pour deux réels strictement positifs et un entier n, le logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une puissance et d'une racine carrée, avec une couleur différente pour chaque lettre. La seconde colonne est consacrée aux méthodes. Pour résoudre une équation avec des logarithmes, on pose d'abord les conditions d'existence, on résout, puis on vérifie que la solution respecte ces conditions ; un exemple complet illustre la démarche, suivi d'une équation avec l'exponentielle et d'une inéquation. La fiche montre ensuite le changement de variable qui consiste à poser X égal à exponentielle de x pour se ramener à une équation du second degré. Le bloc des dérivées et des limites donne la dérivée du logarithme, un sur x, et celle du logarithme d'une fonction u strictement positive, u prime sur u. Il rappelle les limites du logarithme en 0 et en plus l'infini, puis les croissances comparées : le quotient du logarithme par x puissance n tend vers 0 en plus l'infini, et le produit de x puissance n par le logarithme tend vers 0 en 0, autrement dit x puissance n l'emporte sur le logarithme. La fiche se termine par une application fréquente au baccalauréat : déterminer un seuil pour une suite géométrique. On applique le logarithme aux deux membres d'une inéquation, en prenant garde au changement de sens lorsque l'on divise par le logarithme d'un nombre compris entre 0 et 1, qui est négatif. Cette fiche accompagne le chapitre sur la fonction logarithme de galilee.ac, avec ses vidéos de méthode et ses exercices corrigés interactifs.