📖 Fiche résumée

Cette fiche de synthèse rassemble sur une seule page le chapitre de dérivation et de convexité de Terminale spécialité mathématiques. Elle se lit en paysage sur un ordinateur ou se découpe en deux demi-pages pour être consultée sur un téléphone. La première colonne est consacrée à la dérivation. Un tableau donne les dérivées des fonctions usuelles, constante, puissance, inverse, racine carrée et exponentielle, avec pour chacune son ensemble de définition et son ensemble de dérivabilité ; la seule différence, celle de la racine carrée, qui n'est pas dérivable en zéro, est mise en évidence. Viennent ensuite les règles de dérivation des opérations, produit par un réel, somme, produit et quotient, avec une couleur pour chacune des deux fonctions u et v. Le bloc des fonctions composées donne les dérivées de l'exponentielle d'une fonction, d'une puissance, d'une racine carrée et d'un inverse, illustrées par un exemple avec l'exponentielle d'un polynôme. La fiche rappelle ensuite l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse a, en précisant que le nombre dérivé est son coefficient directeur, puis la méthode en trois étapes pour étudier les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée. La seconde colonne traite de la convexité. Un graphique montre une courbe convexe puis concave : dans la partie convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes, dessinées en vert ; dans la partie concave, elle est au-dessous de ses tangentes, dessinées en orange ; une flèche désigne le point d'inflexion. Sous le graphique, un tableau aligné sur la courbe résume les caractérisations : position de la courbe par rapport à ses tangentes, variations de la dérivée, croissante puis décroissante, et signe de la dérivée seconde, positif puis négatif, avec un zéro au point d'inflexion, où la courbe traverse sa tangente. La méthode pour étudier la convexité est détaillée sur un exemple, la fonction x fois exponentielle de x : on dérive deux fois, on étudie le signe de la dérivée seconde, et on en déduit les intervalles où la fonction est convexe ou concave, ainsi que le point d'inflexion. La fiche se termine par une inégalité de convexité classique au baccalauréat, rédigée en trois étapes : la fonction exponentielle est convexe, sa courbe est donc au-dessus de sa tangente en zéro, d'équation y égale x plus un, d'où l'inégalité exponentielle de x supérieure ou égale à x plus un pour tout réel x. Cette fiche accompagne le chapitre sur la dérivation et la convexité de galilee.ac, avec ses vidéos de méthode et ses exercices corrigés interactifs.