EXERCICE : Construire l'image d'une figure par une symétrie centrale

Comment s'entraîner aux constructions par symétrie en 5ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir t'entraîner à réaliser des constructions par symétrie, symétrie centrale, symétrie axiale. Si jamais cet exercice te pose des difficultés tu pourras cliquer à droite sur le lien SOS, il te mènera vers d'autres vidéos dans lesquelles tu trouveras la méthode bien plus détaillée que dans cet exercice là. Ici on ira un peu plus vite sur la correction, je te laisse donc prendre connaissance de l'exercice et déjà commencer par reproduire la figure, tu peux donc mettre la vidéo en pause.

Correction alors là bon ça va aller très très vite l'exercice il y a pas d'exercice d'ailleurs c'est simplement reproduire la figure c'est trois coups de crayon pour obtenir le triangle \( ABC \) on le voit ici. On place un point \( M \) un peu en dessous de notre triangle et on a une figure du même type. C'est la suite qui devient intéressante, je te laisse donc mettre la vidéo en pause pour réaliser la première construction par symétrie.

Comment construire l'image d'un triangle par une symétrie centrale ?

Correction bien alors ici il s'agit d'une symétrie centrale puisqu'on parle de symétrie par rapport au point \( M \), donc c'est une symétrie par rapport à un point. Alors et bien on voudrait construire le symétrique du triangle \( ABC \). Construire le symétrique d'un triangle c'est construire les symétriques des trois sommets du triangle. On va donc commencer par construire le symétrique du point \( A \) puis ensuite on fera \( B \) et enfin on fera \( C \).

Alors comme je l'avais dit au départ je vais aller assez vite dans la description de la méthode, si jamais tu as des difficultés n'hésite pas à cliquer sur le lien SOS. Donc comme tu le vois on commence par tracer la demi-droite \( AM \) dans le but d'avoir l'alignement entre le point \( A \), le point \( M \) et son symétrique qu'on va appeler \( A' \). Le point \( A' \) se trouve à la même distance de \( M \) que le point \( A \). Je reporte donc la distance de l'autre côté de la demi-droite, j'obtiens le point \( A' \) premier point construit.

On poursuit de la même manière donc en traçant la demi-droite issue de \( B \) passant par \( M \). On reporte la distance \( BM \) de l'autre côté du point \( M \), on obtient le point \( B' \) et on fait ça enfin une troisième fois avec le point \( C \). Toujours pareil je trace la demi-droite \( CM \), je reporte la distance \( CM \) de l'autre côté du point \( M \) à l'aide du compas, on obtient le point \( C' \). Et bien voilà on obtient donc les points \( A' \), \( B' \) et \( C' \) tous les trois symétriques respectifs de \( A \), de \( B \) et de \( C \) par rapport au point \( M \).

En reliant ces trois points on obtient le symétrique du triangle \( ABC \) par rapport au point \( M \). On en a fini pour la question 2, tu peux donc attaquer la question 3 et mettre la vidéo en pause.

Comment faire une symétrie axiale avec une équerre et un compas en 5ème ?

Correction alors ici il s'agit d'une symétrie axiale puisque on nous dit que c'est par rapport à une droite, en l'occurrence ici la droite \( BM \). Alors si c'est par rapport à une droite bien évidemment il faut déjà commencer par tracer cette droite, sinon on ne va pas pouvoir travailler, c'est ce qu'on est en train de faire là. De cette façon on a l'axe de notre symétrie. Pour le reste c'est comme avant seulement on va faire une symétrie axiale, c'est-à-dire je vais construire les symétriques de \( A \), de \( B \) et de \( C \) par rapport à la droite \( BM \) en commençant bien évidemment par le point \( A \). On va les faire dans l'ordre et cette fois-ci et bien la construction se fait à l'aide d'une équerre.

On commence donc par tracer la perpendiculaire à \( BM \) passant par \( A \). Cette perpendiculaire on la reporte de l'autre côté de l'axe puisqu'il s'agit d'une symétrie et je prends la distance qui va de \( A \) à la droite avec le compas que je reporte de l'autre côté de la droite sur cette perpendiculaire. J'obtiens ainsi son symétrique on va l'appeler \( A'' \), \( A \) avec deux petits apostrophes. On va faire pareil pour le point \( B \) et bien c'est fini, c'est fini tout simplement parce que le point \( B \) est sur l'axe. Et bien un point qui est sur l'axe son symétrique se trouve sur l'axe aussi, c'est le point lui-même. J'ai simplement à écrire \( B'' \) à côté du point \( B \). \( B \) et \( B'' \) sont les mêmes points, les deux points symétriques se superposent.

Reste le point \( C \) dernier point à construire. Bien là on va faire comme pour le point \( A \). On prend l'équerre pour tracer la perpendiculaire à la droite \( BM \) passant par \( C \). On prolonge cette perpendiculaire de l'autre côté de l'axe dans le but et bien de pouvoir reporter la longueur qui va du point \( C \) à l'axe avec le compas. On la reporte donc de l'autre côté de l'axe et on obtient notre point symétrique \( C'' \). Et bien voilà comme tout à l'heure avec la symétrie centrale j'ai mes trois points symétriques, je n'ai plus qu'à les relier pour obtenir la figure symétrique, c'est-à-dire le triangle symétrique \( A'' \), \( B'' \) et \( C'' \) et on a notre triangle symétrique. Voilà je te laisse donc répondre à la 3ème question et mettre la vidéo en pause.

Comment trouver l'axe de symétrie entre deux triangles ?

Correction alors qu'est-ce qu'on peut dire des deux triangles ? Les deux triangles qu'on a obtenus donc les deux triangles symétriques, si on les regarde ces deux triangles on dirait quand même qu'ils respectent eux aussi une certaine symétrie, une symétrie axiale. On dirait qu'on pourrait effectuer un pliage le long d'un axe pour faire se superposer ces deux triangles. Alors on ne va pas pouvoir le trouver, on va simplement l'admettre et donc ça restera de l'ordre de la conjecture. Donc on va simplement conclure qu'il nous semble que ces deux triangles sont symétriques.

Par contre on pourrait quand même aller un peu plus loin et dire symétrique par rapport à quoi ? Alors on l'a dit juste avant c'est une symétrie axiale mais est-ce qu'on pourrait pas quand même déterminer cet axe ? Et bien oui cet axe c'est en réalité la médiatrice du segment \( BB' \), la droite perpendiculaire à \( BB' \) qui passe par \( M \) même. Et bien oui on peut dire que les deux triangles qu'on a obtenus sont symétriques par rapport à la médiatrice de \( BB' \). Les deux triangles que l'on a obtenus semblent symétriques par rapport à la médiatrice du segment \( BB' \). Voilà pour conclure et cette séquence est terminée.