Trouver des fractions égales
Comment savoir si deux fractions sont égales en 5ème ?
[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à déterminer une fraction égale. Ici donc on nous donne une fraction qui est \( \frac{16}{10} \) et on voudrait déterminer toutes les fractions qui lui sont égales dans la liste \( \frac{32}{10} \), \( \frac{8}{5} \), \( \frac{320}{100} \), \( \frac{17}{11} \) et \( \frac{48}{30} \). Alors on va les tester les unes après les autres et on va regarder si effectivement elles sont égales ou pas à \( \frac{16}{10} \).
On commence donc par \( \frac{32}{10} \). Alors là bon j'ai presque envie de dire ça fait mal aux yeux non ? Est-ce que \( \frac{32}{10} \) est égale à \( \frac{16}{10} \) ? Évidemment non, ces deux fractions ont le même dénominateur mais un dea numérateur qui est différent donc on peut tout de suite conclure et on va pas s'embêter plus longtemps, ces deux fractions ne sont pas égales, elles sont différentes.
Comment trouver une fraction égale avec un dénominateur différent ?
On passe à la suivante \( \frac{8}{5} \) qu'on voudrait donc comparer avec \( \frac{16}{10} \). Le problème c'est que les deux fractions n'ont pas le même dénominateur et du coup c'est pas évident de pouvoir comparer. Ce qu'on va faire c'est qu'on va modifier cette fraction en la mettant sur un dénominateur de 10 comme ça on pourra faire comme avant et comparer. Donc je voudrais savoir quelle est la fraction en 10e égale à \( \frac{8}{5} \). Bien regardons ce qu'on a fait en fait ici on est passé de 5 à 10, c'est à dire qu'on a multiplié notre dénominateur par deux. Or on sait qu'on ne modifie pas une fraction lorsqu'on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre, on retrouve donc des fractions qui sont égales.
Donc si je veux une fraction égale à \( \frac{8}{5} \) et bien je dois faire la même opération en haut et en bas là, mes multiplications en haut et en bas donc \( \times 2 \) \( \times 2 \) eh bien ça nous donne quoi ? Ceci ça nous donne \( \frac{16}{10} \) une fois de 16. J'ai donc bien ici prouvé que \( \frac{8}{5} \) est égale à \( \frac{16}{10} \).
Comment simplifier une fraction pour vérifier si elle est égale ?
On peut passer à la troisième, est-ce que \( \frac{320}{100} \) est également égal comme la précédente à \( \frac{16}{10} \) ? Alors on va faire un peu près de la même manière c'est à dire qu'on va commencer par modifier l'écriture de cette fraction de façon à l'exprimer en 10e comme ça on pourrait la comparer et regarder si on retrouve bien comme avant 16.
Alors comment passe-t-on de 100 à 10 ? Bon voila il s'agit d'une division et la division par 10, \( 100 \div 10 \) ça fait 10. Or on ne change pas une fraction lorsqu'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre. Donc si je divise par dix en bas au dénominateur on va faire de même en haut au numérateur, allons-y 320 divisé par dix eh bien ça fait 32.
Tiens tiens mais \( \frac{32}{10} \) on la connaît cette fraction, c'est la première en fait et on avait vu que la première n'était pas égale à \( \frac{16}{10} \) parce qu'on n'a pas le même numérateur. Donc si \( \frac{32}{10} \) n'est pas égale à \( \frac{16}{10} \) par \( \frac{320}{100} \) qui est égal à \( \frac{32}{10} \) et pas égales non plus à \( \frac{16}{10} \).
Peut-on soustraire ou additionner pour trouver des fractions égales ?
Voilà qui est noté on peut s'attaquer à \( \frac{17}{11} \). Alors \( \frac{17}{11} \) était légale à \( \frac{16}{10} \) ? 17, 16, -1. 11, 10, -1. Tiens tiens finalement si j'enlève 1 au dénominateur et au numérateur et bien je retombe sur l'autre fraction donc elles sont égales ? Pas du tout, on ne change pas une fraction lorsqu'on multiplie par un même nombre, on ne change pas une fraction lorsqu'on divise par un même nombre en haut et en bas mais par contre quand on additionne etc on soustrait ceci n'est pas vrai.
Donc pas question de dire que \( \frac{17}{11} \) est égale à \( \frac{16}{10} \) parce que j'ai enlevé 1 en haut et en bas la plupart du temps c'est faux. Bon maintenant des fois par hasard sur certaines fractions ça arrive que c'est vrai mais c'est juste le hasard, ce n'est pas une règle mathématique ce qui fait qu'il faudrait quand même s'assurer que ces deux fréquences ces deux fractions sont effectivement différentes.
Comment utiliser la calculatrice pour comparer deux fractions ?
Alors pour cela et bien on pourrait tout simplement faire un petit calcul parce ce sont des quotients. Donc allons-y divisons, si je fais \( 16 \div 10 \) ça marche très bien, \( 16 \div 10 \) ça fait \( 1,6 \). Si je fais \( 17 \div 11 \) alors ça ça s'effectue plutôt à la calculatrice, un peu l'idée c'est pas de faire le cadre du calcul mental ici.
Si j'effectue 17 pas bon je trouve 1,5 4 donc en gros \( 1,54 \) donc environ \( 1,54 \). Bien bon bah c'est clair là je trouve environ \( 1,54 \), là je trouve exactement \( 1,6 \). On voit bien que nos deux fractions ne sont pas égales.
Comment mettre deux fractions au même dénominateur en 5ème ?
Alors il en reste une petite dernière \( \frac{48}{30} \) et pour celle-ci et bien on va à nouveau faire comme on l'a fait pour de nombreuses autres, on va mettre cette fraction là au même dénominateur que la fraction qu'on nous donne c'est à dire on va exprimer ceci en 10e.
Alors toujours la même question, comment passe-t-on de 30 à 10 ? Et bien il suffit de diviser par 3. Tu remarques sans doute que j'utilise le feutre vert ce qui veut dire que il y a de bonnes chances que cette fraction soit égale à \( \frac{16}{10} \). Alors \( 30 \div 3 \) on a compris maintenant que on faisait exactement la même opération sur le numérateur, on ne change pas une fraction lorsqu'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre.
Allons-y si \( 30 \div 3 \) fait 10, \( 48 \div 3 \) fait 16 et 16 tiens ça nous parle \( \frac{16}{10} \). Et bien c'est la fameuse \( \frac{16}{10} \), les deux fractions sont égales. Voilà \( \frac{48}{30} \) égale \( \frac{16}{10} \). On a finalement trouvé deux fractions égales à \( \frac{16}{10} \) : \( \frac{8}{5} \) et \( \frac{48}{30} \). Cette séquence est terminée.
