Résoudre une ÉQUATION (avec × et ÷)

Qu'est-ce qu'une équation en mathématiques (5ème) ?

[Musique] Bonjour, dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à résoudre des équations avec des multiplications ou des divisions. On se trouve là au tout début du chapitre sur les équations avec des équations très simples, très basiques où on le voit, on a à chaque fois notre inconnu \(x\) qui est euh accompagné d'une petite multiplication, d'une petite division. Alors, la division, elle est schématisée par le trait de fraction, mais enfin, en tout cas, c'est une division. Allez, on attaque la première. De cette façonlà, je vais pouvoir rappeler de façon concrète qu'est-ce que c'est qu'une équation ? On voudrait donc résoudre l'équation \(2x = 7\). Qu'est-ce que ça signifie ? Ça signifie que là, dans cette ligne ici qui est une égalité, puisqu'il y a le signe égal, j'ai un nombre que je ne connais pas. Et comme je ne le connais pas, et bien je donné un petit nom et je l'ai appelé \(x\). On aurait pu l'appeler \(N\), \(t\) \(k\) mais habituellement en mathématique pour un nombre inconnu, on le note \(x\). C'est un peu moins vrai en science physique ou par exemple si on va parler du temps et que le temps est inconnu dans une expérience, et bien on va prendre l'inconnu \(t\). Euh alors nous on va en rester avec \(x\) mais tu verras dans les exercices, tu rencontreras des équations où il y a d'autres lettres.

Comment trouver la valeur de x dans une équation ?

La question est donc de savoir quel nombre multiplié par \(2\) est égal à \(7\). Alors, il se peut que tu a déjà la réponse parce que tu as des facilités en calcul mental, mais quand on résout une équation, il ne s'agit pas juste de donner la réponse. Il faut la prouver cette réponse, l'expliquer afin qu'on puisse la comprendre. Alors ici pour le faire et bien on va garder ici cette structure \(2x\) membre de gauche égal à \(7\) membre de droite et on va modifier pas à pas et bien à gauche et à droite du signe égal chacun des deux membres. Ce qu'il faudrait en fait c'est trouver la valeur de \(x\). C'estàd que quand j'aurais fini ce travail à la fin j'aurais \(x\) é= un nombre je sais pas \(2\) \(78\) enfin ça va donner un nombre. La question est quel est ce nombre ? Alors vu que à la fin j'aurai \(x\) é= un nombre et bien on comprend bien ici que à gauche du sigal j'aurai la lettre \(x\) qui sera toute seule isolée. \(X\) é= la réponse. Le problème c'est qu'ici la lettre \(X\) elle est pas toute seule. Il y a ce de qui m'embête là. Si je me débarrasse de ce, ça serait parfait. Là, j'aurais \(x\) é= la réponse.

Comment isoler x dans une équation avec une multiplication ?

Donc ce qu'il faut faire, c'est dans un premier temps trouver une stratégie pour se débarrasser de ce de mais ce de c'est quoi ? On l'a dit en introduction. Ce en fait un produit par de c'est pas juste un nombre de comme ça qui débarque. C'est une multiplication par \(2\). Et pour équilibrer une multiplication, rien de mieux qu'une division. Qu'est-ce qui va équilibrer une multiplication par \(2\) ? et bien c'est tout simplement une division par de donc ce que je vais faire c'est que ici je vais prendre ce cette expression et je vais la diviser par de donc recopié la ligne dessus donc mon égalité et je vais juste diviser par deux. Alors ça paraît quand même bizarre parce que comme ça on a le droit de diviser par deux. Ben non, on n pas le droit de diviser par \(2\) à gauche parce que sinon c'est plus égal. Dire que \(2x = 7\) et dire que la moitié de \(2x\) est aussi égale à \(7\), il y a un problème. Soit c'est entier, soit c'est la moitié. Mais ça peut pas être euh les deux à la fois. Alors oui, c'est vrai. Sauf si je fais exactement la même chose à droite et que je divise également par \(2\) à droite. Si \(2x = 7\), la moitié de \(2x\) est égale à la moitié de \(7\). Ça paraît bien ça. Deux grandeurs sont égales. Je les coupe en deux. bah, j'obtiens des grandeurs égales à condition de les couper chacune en deux.

Alors là, oui, \(\frac{2x}{2}\) est é= à \(\frac{7}{2}\). Mais là, la stratégie est gagnante parce qu'on a dit qu'une multiplication et une division s'équilibrée. Et oui, là j'ai du \(\frac{2}{2}\), j'ai du \(\frac{2}{2}\) et \(\frac{2}{2}\) et bien ça fait \(1\). Donc ici, c'est comme si j'avais \(1x = \frac{7}{2}\). Or \(1x\) \(1x\) et bien ça s'écrit \(x\) tout court. Alors on peut rajouter une ligne ou l'effacer hein. \(X\) é= à \(7\). Et bien voilà je l'ai ma réponse. Quel est le nombre \(x\) pour que \(2 \times x\) soi égal à \(7\) ? Et bien la réponse c'est \(x = \frac{7}{2}\). Alors \(\frac{7}{2}\), on peut le laisser comme ça. Euh, on peut également l'écrire sous sa forme décimale. \(3,5\).

Comment vérifier le résultat d'une équation en 5ème ?

Et de cette façon-là, on va vérifier assez facilement que c'est vrai. Bah pour cela, qu'est-ce qu'il suffit de faire ? Il suffit d'injecter dans l'équation de départ la valeur trouvée ici. Est-ce que si je mets \(x = 3,5\) là, ça marche ? Essayons. Je remplace \(2 \times 3,5\). On peut l'écrire en dessous. \(2 \times 3,5\). Bien, ça fait \(7\). Et ben oui, ça fait bien \(7\). Ça marche bien. \(2 \times 3,5 = 7\). Donc la solution que j'ai trouvé pour mon équation \(x = 3,5\) semble bien juste et elle est d'ailleurs exacte.

Comment résoudre une équation égale à 0 ?

Allez, on va en résoudre une autre mais on va aller un peu plus vite. L'équation qu'il faut résoudre est \(7x = 0\). Alors, elle peut paraître bizarre celle-là parce qu'il y a zéro ici. On va voir qu'en fait c'est assez simple. Donc j'ai là ici une multiplication par \(7\). On se débarrasse d'une multiplication par \(7\) à l'aide d'une division par \(7\). Donc je recopie ici mon équation \(7x = 0\). Sauf que là je vais diviser par \(7\). Comme tout à l'heure. Si je divise par \(7\) à gauche, je divise par \(7\) à droite. Ça fait donc \(\frac{0}{7}\). Or \(\frac{7}{7}\) / \(7\). C'est-à-dire, je trouve ici \(1x = \frac{0}{7}\) \(\frac{0}{7}\), bah ça fait \(0\). Donc \(1x = 0\) ou tout simplement \(x = 0\). Et oui, si \(7x = 0\), et bien ça veut dire que \(x\) est ég à \(0\). Là encore, on peut le remplacer et on va voir que ça marche bien. \(7 \times 0\), pas \(7 \times 0\), ça fait bien \(0\).

Comment résoudre une équation avec une fraction ou une division en 5ème ?

Alors, \(\frac{x}{5} = 2\). \(\frac{x}{5} = 2\). Celui qui m'embête ici, c'est le \(5\). Sauf que contrairement à avant, il est en bas celui qui m'embête. Avant, il était ici en haut, donc bien aligné avec le \(x\). Là, il est en bas, il est au dénominateur. Alors, j'ai dit \(\frac{x}{5}\), c'est la même chose que \(\frac{x}{5}\). Ce qui veut dire que là, j'ai en fait une division par \(5\). Et pour se débarrasser d'une division, rien de mieux qu'une multiplication. Et bien, allons-y. J'ai donc recopié mon équation en laissant un petit peu de place. Tout simplement parce que ici je veux me débarrasser de la division par \(5\) et pour cela et bien je vais faire une multiplication par \(5\). Mais si je fais une multiplication par \(5\) à gauche, je fais une multiplication par \(5\) à droite. Tout ce qu'on opère à gauche, on l'opère toujours à droite. C'est vrai dans le casre des divisions, mais évidemment dans le cadre des multiplications. Si lui est égal à lui, son quintuple \(\times 5\), c'est le quintuple. son quintuple est égal au quintuple de l'autre \(\times 5\) \(\times 5\) et là comme tout à l'heure c'est magique. Non c'est pas magique c'est mathématique. Ici j'ai du \(\frac{5}{5}\) j'ai divisé par \(5 \times 5\). Ça s'équilibre et ça s'en va. Il me reste tout simplement \(x\). \(X\) é= à quoi ? \(2 \times 5\) \(10\).

Comment calculer x dans une équation avec une division ?

Et là encore on peut le vérifier. Est-ce que \(10\) est effectivement solution ? Bah, il suffit de remplacer là-dedans. \(\frac{10}{5}\) \(\frac{10}{5}\) bah pas, ça fait bien \(2\). Donc effectivement \(x\) sur \(5\) est bien la solution. Allez, un petit dernier. On va aller un peu plus vite ici également puisque c'est du même type que le 3è. \(\frac{X}{6} = 11\). Donc pour résoudre cette équation, on voit bien que c'est la division par \(6\) ici qui m'embête que je vais équilibrer par une multiplication par \(6\). Donc je recopie mon équation en laissant un petit peu de place ici et j'ai dit que là je vais multiplier par \(6\). Attention, si je multiplie par \(6\) à gauche, je multiplie par \(6\) à droite. De cette façon-là, j'ai du \(x \times \frac{6}{6}\) qui s'équilibre. Il me reste tout simplement \(x =\) le résultat de \(11 \times 6\). \(X = 66\) et solution de mon équation. Là encore, on peut le vérifier. \(\frac{66}{6}\). Oui, ça fait bien \(11\). Cette séquence est terminée. Ok.