Déterminer tous les diviseurs d'un nombre

Comment trouver tous les diviseurs d'un nombre entier en 5ème ?

[Musique] Bonjour, dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à déterminer tous les diviseurs d'un nombre. On les veut vraiment tous. Et ici, on voudrait établir la liste de tous les diviseurs de \( 24 \). En oubliez aucun. Et on va voir que \( 24 \) a la particularité d'être un nombre pas trop grand mais qui pourtant possède pas mal de diviseurs. Alors allons-y pour décomposer notre \( 24 \). Car oui, la technique va consister à décomposer \( 24 \) en produit de deux nombres entiers.

Comment commencer la liste des diviseurs d'un nombre ?

Car si j'arrive à écrire \( 24 \) en un entier \( \times \) \( 1 \) entier, je vais récupérer du coup directement deux diviseurs. Et il y a une décomposition qui est très facile, c'est la plus simple de toutes, c'est d'écrire que \( 24 \) est égal à \( 1 \times 24 \). Et oui, on peut toujours écrire qu'un nombre est égal à une fois lui-même. Mais ça, ça nous donne quoi ? Bah, ça nous donne \( 2 \) diviseurs de \( 24 \). Les deux plus simples, les deux plus évidents, mais c'est déjà un début. \( 24 \) est divisible par \( 1 \) forcément \( 24 / 1 \) ça fait \( 24 \) et \( 24 \) est divisible par \( 24 \) forcément \( 24 / 24 \) ça fait \( 1 \). Donc commençons par établir notre liste avec les deux premiers diviseurs. Voilà \( 1 \) et \( 24 \).

Quelle méthode pour calculer les diviseurs suivants avec des multiplications ?

On va recommencer. On va essayer de trouver peut-être deux diviseurs plus originaux. Alors la technique va consister à continuer dans la liste des entiers à faire le test. Est-ce que je peux écrire \( 24 \) comme maintenant deux xis quelque chose ? C'est-à-dire que je sais que \( 1 \) est un diviseur de \( 24 \). Testons le suivant qui est \( 2 \). Est-ce qu'il est possible d'écrire \( 24 \) comme \( 2 \times 1 \) entier ? Oui, bien sûr. \( 2 \times 12 \) car on sait que \( 24 / 2 \) ça nous donne \( 12 \) et ça entraîne que \( 24 / 12 \) ça va nous donner \( 2 \). Donc en écrivant \( 24 \) comme \( 2 \times 12 \), on gagne à nouveau deux diviseurs qu'on peut noter qui sont \( 2 \) et \( 12 \).

Poursuivons maintenant et on va tester l'entier suivant, c'est-à-dire \( 3 \). Alors, est-ce que \( 24 \) peut s'écrire comme le produit de \( 3 \) et d'un autre nombre entier ? La question est-ce que \( 24 / 3 \) ça marche ? Ça nous renvoie un entier ? La réponse est oui. \( 3 \times 8 \) ou \( 8 \times 3 \) \( 24 \). Et on récupère à nouveau deux diviseurs qui sont \( 3 \) et \( 8 \). Je pense que tu as compris le principe. On continue de cette manière en testant maintenant l'entier suivant, c'est-à-dire \( 4 \). Est-ce que \( 24 \) peut s'écrire comme le produit de \( 4 \) et d'un nombre entier ? Alors pour cela et bien on va diviser \( 24 \) par \( 4 \). \( 24 / 2 \) \( 12 \) diviser encore par \( 2 \) \( 6 / 4 \) donne \( 6 \) ou que \( 4 \times 6 \) \( 24 \) et bien on obtient à nouveau deux diviseurs qui sont maintenant \( 4 \) et \( 6 \).

Comment savoir si on a trouvé tous les diviseurs d'un nombre ?

Alors bon, tu remarques sans doute que je n'ai pas laissé de place ici. On pourrait penser qu'on est arrivé au bout. Bon, la réponse est oui. Je vais pas mentir, mais on va quand même faire le travail et on va continuer le test juste pour que tu comprennes bien comment ça fonctionne. On continue avec le nombre \( 5 \). Le nombre \( 5 \), on voudrait un entier qui multiplié par \( 5 \) donne \( 24 \). Et là, on voit que ça marche pas parce que \( 24 \) n'est pas divisible par \( 5 \). \( 24 \) se finit pas par un \( 0 \) ou un \( 5 \). Donc \( 24 \) ne peut pas être divisible par \( 5 \). Donc \( 5 \) ne marche pas. Alors, ce qui veut dire qu'ensuite je vais tester l'entier suivant. Et l'entier suivant et bien après ça devient \( 6 \).

Sauf que \( 6 \), je l'ai déjà testé, on avait eu que c'était \( 4 \times 6 \). Donc lu dans l'autre sens, ça nous fait du \( 6 \times 4 \). Ce qui veut dire que et bien la boucle est bouclée. Je suis arrivé à rejoindre l'autre côté de mes diviseurs, les diviseurs descendants. Et bien, j'ai tout testé. Il n'est pas nécessaire de poursuivre à partir du moment où on constate qu'on en a déjà un. Et bien cela signifie que on a notre liste de diviseur de \( 24 \). C'est donc :

Et cette séquence est terminée.