Utiliser un contre-exemple
Qu'est-ce qu'un carré parfait en maths ?
[Musique] Bonjour ! Dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à utiliser un contreexemple pour prouver qu'une propriété est fausse. Alors, je vais expliquer ce que c'est qu'un contrexemple, mais avant ça, regardons notre propriété. Elle nous dit la somme de deux carrés parfaits est un carré parfait. Alors, hormis le fait que cette propriété est fausse et qu'il va falloir le prouver, il faudrait déjà la comprendre parce que il y a le terme carré parfait qu'on pourrait rappeler.
Alors, qu'est-ce que c'est qu'un carré parfait ? Bah, le plus simple, c'est d'en donner quelques exemples. Tu prends \( 3 \) que tu élèves au carré et tu obtiens \( 9 \) parce que \( 3 \times 3 \) \( 9 \). Et bien \( 9 \) est un carré parfait. Si je voulais le suivant et bien je prendrai \( 4 \) que j'élèverai au carré. \( 4 \times 4 \) \( 16 \) et bien \( 16 \) ou \( 4 \) au carré est un carré parfait. On pourrait continuer avec \( 5 \) au carré qui donne \( 25 \), \( 6 \) au carré qui donne \( 36 \) et cetera.
Alors, j'ai pas dit celui qui venait juste avant. Bien avant \( 3 \), on a \( 2 \), on peut quand même le noter. \( 2 \) au carré est égal à \( 4 \) puisque \( 2 \times 2 \) donne \( 4 \) et cetera. Et donc là ici on a fabriqué des carrés parfaits. Bien, il suffit de prendre un nombre entier et de l'élever au carré. On obtient un carré parfait.
Comment savoir si une propriété mathématique est vraie ?
Alors ce qu'on voudrait prouver que euh si je fais la somme ici de \( 2 \) carrés, donc par exemple \( 9 \) et \( 16 \), et bien c'est faux de dire que c'est un carré parfait. Bah on va essayer, on va vérifier. Je vais prendre ces deux là. Donc celui-ci et celui-ci, la propriété me dit la somme de deux carré parfait. Donc je vais faire \( 3 \) au carré \( + \) \( 4 \) au carré. J'ai bien là la somme de carrés parfaits. Alors si je fais \( 3 \) au carré, ça fait \( 9 \) et si je fais \( 4 \) au carré ça fait \( 16 \). Or \( 9 + 16 \) \( 25 \).
Et là, qu'est-ce qu'on constate ? Et bien, on constate que finalement on obtient un carré parfait. Ben alors, ça c'est étrange parce que je vous ai dit que cette propriété, elle est fausse et en fin de compte, elle est vraie. Un carré parfait, un carré parfait. Je fais la somme, je fais la somme de \( 2^2 \), j'obtiens \( 25 \) qui est un carré parfait. La somme de deux carrés parfait et donc un carré parfait, c'est absolument vrai. Attention, c'est vrai dans ce cas-là. Pour qu'une propriété soit vraie, il faut qu'elle soit tout le temps vraie avec n'importe quel carré parfait. C'est-à-dire, si je prends celui-ci et celui-ci, ça me fait un carré parfait. OK ? Mais si je prends celui-ci et celui-ci, ça doit me faire un carré parfait. Si je prends celui-ci et cetera, à chaque fois que j'en prends deux, je prends deux carrés parfait, j'en fais la somme, ça doit me donner un carré parfait. Alors pour montrer quelle serait vraie cette propriété, il faudrait que je le fasse avec tous les carrés parfaits du monde. Mais il y en a un nombre infini, c'est pas possible.
Comment utiliser un contre-exemple pour prouver qu'une propriété est fausse en 5ème ?
Mais attention, ici, on veut pas montrer qu'elle est vraie la propriété, on veut montrer qu'elle est fausse. Et pour prouver qu'une propriété est fausse, il suffit qu'elle ne marche pas une fois. Et ben oui, parce que pour prouver qu'elle est vraie, il faut qu'elle marche tout le temps. Donc si elle marche pas une fois, ça veut dire qu'elle n'est pas vraie tout le temps et donc qu'elle défausse. Alors et bien, on va faire un deuxième essai tout simplement. Là, j'ai eu un peu de chance, je suis tombé effectivement sur un carré parfait. Est-ce que en prenant deux autres nombres, ça va encore marcher ? Et bien c'est parti, on recommence. Alors je vais prendre maintenant et bien les deux premiers. Alors je prends le premier carré parfait \( 2 \) et je lui rajoute un autre carré parfait \( 3 \). J'ai bien fait la somme de deux carrés parfaits. Effectuons cette somme. \( 2 \) au carré ça fait \( 4 \). \( 3 \) au car ça fait \( 9 \). \( 4 + 9 \) \( 13 \). Est-ce que \( 13 \) est un carré parfait ? La propriété dirait oui. Mais est-ce que c'est vrai ? Et bien justement là, on vient de trouver ce qui s'appelle un contreexemple.
C'est un exemple qui ne fonctionne pas avec cette affirmation et qui prouve que cette affirmation est fausse. Et oui, \( 13 \) ne peut pas être un carré parfait. Pourquoi ? Parce que là, j'ai écrit la liste des carrés parfaits. Alors, elle est pas complète cette liste. On peut remonter un peu plus haut avec \( 1 \) au carré \( 0 \) au carré. On peut aller plus bas avec \( 6 \) au carré, \( 7 \) au carr mais enfin en tout cas, on voit bien que \( 13 \) se situe ici entre \( 9 \) et \( 16 \). Mais entre \( 9 \) et \( 16 \), j'ai pas de nombre entier. Soit j'ai \( 3 \) au carré qui donne \( 9 \) comme carré parfait, soit j'ai après \( 4 \) au carré qui donne \( 16 \). Euh mais rien pour \( 13 \). Donc \( 13 \) n'est pas un carré parfait. Et donc j'ai trouvé un exemple qui ne fonctionne pas pour ma propriété. Ça suffit pour dire que cette propriété est fausse car je le répète, pour qu'une propriété soit vraie, il faut qu'elle soit toujours vrai sans exception. Donc j'ai même pas besoin de trouver un autre exemple qui fonctionne pas. Il y en a tout plein qui fonctionnent pas, mais j'ai même pas besoin d'en trouver un autre. C'est bon, ça suffit. Je viens ici de prouver que ma propriété est fausse grâce à ce contreexemple. \( 13 \) n'est pas un carré parfait. La propriété est fausse et du coup bah cette séquence est terminée.
