Calculer une longueur avec le théorème de Thalès (1)
À quoi sert le théorème de Thalès en 4ème ?
Bonjour, dans cette vidéo, tu vas pouvoir apprendre à appliquer le théorème de Thalès dans un triangle. Voilà notre triangle, on connaît des longueurs, on sait qu'on a deux droites parallèles, objectif calculer deux longueurs \(BD\) et \(EF\). On verra plus précisément ce que cela signifie dans cette situation-là.
Avant de commencer, un petit rappel, qu'est-ce que c'est que le théorème de ? Le théorème de Thalès, c'est ceci. C'est un théorème donc ici qui travaille dans un triangle et qui nous permet justement de calculer des longueurs. Ça tombe bien.
Comment savoir si on peut utiliser le théorème de Thalès ?
À une condition, une condition essentielle, c'est celle qu'il faudra toujours s'assurer qu'elle est bien vérifiée, c'est qu'on a deux droites ou deux segments ou deux côtés parallèles. On l'a vu juste avant, c'est le cas dans notre triangle, on a bien deux longueurs on a bien deux segments qui sont parallèles.
Quelle est la formule du théorème de Thalès ?
Alors comment fonctionne ce théorème de ? Bien, observons-le déjà de façon générale, la situation de Thalès, qu'est-ce qu'elle nous ? Bon, on dirait ici qu'on a deux triangles dont l'un est un clone de l'autre, ils se ressemblent terriblement, ils sont dans les mêmes proportions, ils sont semblables. ? Et bien le triangle vert à l'intérieur, \(AB'C'\), le petit, et le triangle bleu à l'extérieur, \(ABC\), le grand.
Ces deux triangles-là ont des côtés qui sont deux à deux proportionnels, puisqu'ils sont semblables, les côtés sont dans les mêmes proportions, ça paraît évident. Mais du coup, je vais pouvoir avoir des rapports égaux, c'est ce qui est écrit là sur le théorème de Thalès. Ceci, bien sûr, à la condition qu'on ait nos deux droites parallèles qui sont là, c'est marqué en rouge dans le théorème, \(B'C'\) et \(BC\). Ça, c'est la condition qu'il faudra toujours annoncer dans un exercice quand tu appliques Thalès.
Alors, comment construire eh bien ces trois rapports ? Euh, il suffit à chaque fois de prendre en haut les côtés du petit triangle, en bas les côtés du grand triangle. On peut tout inverser si on veut, ça marche aussi, mais bon, il faut faire un choix. Donc, disons qu'on va prendre en haut les petits, en bas les grands. Et on va faire ça ? Eh bien, on va à chaque fois les prendre deux à deux lorsqu'ils se correspondent.
Par exemple, je prends le premier, \(AB'\). Qu'est-ce qui correspond à ? Bien, euh celui qui correspond à \(AB'\) sur le petit, eh bien, c'est \(AB\) sur le grand, on voit bien, ils sont presque collés l'un l'un et l'autre. C'est pour ça que le premier rapport, c'est \(AB'\) sur \(AB\).
Je poursuis, je prends maintenant \(AC'\). Qu'est-ce qui correspond à \(AC'\) sur le ? Eh bien, c'est \(AC\), on le voit bien là encore, à la base, j'ai \(AC'\) et \(AC\). Donc, \(AB'\) sur \(AB\) est égal à \(AC'\) sur \(AC\).
Je finis, ces trois rapports, Thalès, c'est normal parce que trois côtés, eh bien, le dernier rapport, c'est celui des parallèles, c'est très facile. Si je prends \(B'C'\) sur le petit, quelle est la correspondance sur le ? Bien évidemment, \(BC\). Et voilà mon théorème de Thalès qui est formé de trois rapports égaux.
Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?
Appliquons ceci à notre situation. Est-ce que ici j'ai déjà une situation de ? Eh bien, oui, j'ai une situation de Thalès. J'ai là un petit triangle \(BCF\) et un grand triangle \(BDE\). Ces deux triangles sont semblables, ils ont des côtés deux à deux proportionnels. ? Parce que \(CF\) est parallèle à \(DE\), c'est dit, c'est la condition qu'il faut vérifier sur le théorème de Thalès. Alors, bien sûr, euh il faut que \(C\) appartienne au le \(BD\), si \(C\) se balade ici, ça marche pas. Mais si \(C\) se balade ici, tu auras pas non plus l'idée d'utiliser Thalès.
On va déjà l'écrire qu'on est bien dans une situation de Thalès. Les triangles \(BCF\), le petit, et \(BDE\), le grand, sont en situation de Thalès car les droites \(CF\) et \(DE\) sont parallèles. À partir de là, je vais pouvoir écrire trois rapports égaux. Allons-y, on met les petits en haut et les grands en bas. On commence par \(BC\). Si je dis \(BC\) sur le petit, je dis quoi sur le ? Bien, si je dis \(BC\) sur le petit, je dis \(BD\) sur le grand. Premier rapport, \(BC\) sur \(BD\).
Poursuivons. Deuxième rapport. J'attaque un deuxième côté sur le petit. Si je dis \(BF\) sur le petit, je dis quoi sur le ? Si je dis \(BF\) sur le petit, je dis \(BE\) sur le grand. \(BF\) sur \(BE\). Égale.
Troisième rapport. Je prends maintenant \(CF\) sur le petit. Si je dis \(CF\) sur le petit, je dis bien évidemment \(DE\) sur le grand. Ce sont nos deux droites parallèles. Voilà, j'ai mes trois rapports égaux grâce au théorème de Thalès. Je vais maintenant pouvoir calculer \(BD\) et \(EF\) au fait, c'est vrai. J'ai à calculer ces longueurs. Euh \(BD\) \(BD\) est ici, ça tombe bien. \(EF\) \(EF\) Ah, \(EF\) est nulle part. \(EF\) Au fait, \(EF\), il est où sur la ? \(EF\), il est ici.
C'est normal que \(EF\) est nulle part dans Thalès parce que \(EF\) c'est pas un côté de triangle \(EF\). Donc, vu que Thalès n'applique que des côtés de triangle, je vais pas pouvoir avoir \(EF\) ici. Mais c'est pas grave parce que je n'ai pas \(EF\) dans mon Thalès, mais j'ai \(BE\) dans mon Thalès. Or, si j'arrive à calculer \(BE\) par soustraction, j'obtiendrai \(EF\), on le verra à la fin.
Comment utiliser le produit en croix pour trouver une longueur manquante ?
Donc ça va marcher. Qu'est-ce qu'on va faire ? Eh bien, comme toujours lorsqu'on a une formule, on remplace toutes les longueurs connues dans la formule. Allons-y. \(BC\) \(BC\) fait \(4\), j'écris \(4\). \(BD\) \(BD\), c'est celui que je cherche, donc je le recopie. égal \(BF\) \(BF\) fait \(4,5\), j'écris \(4,5\). \(BE\) \(BE\), on a dit que celui-ci, on aimerait bien le trouver. égal \(CF\) \(CF\) fait \(3\) \(DE\) \(DE\) fait \(7\) Et bien voilà. J'ai maintenant ici euh mes trois rapports, mais avec les longueurs connues.
Calculons, eh bien, ces longueurs. Calculons. Alors, c'est parti. Eh bien, on va calculer \(BD\) et on va calculer \(BE\). Alors, peu importe l'ordre. Commençons par calculer \(BE\). J'ai ici \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) nombres dont trois connus et le quatrième inconnu. Règle de la quatrième proportionnelle ou produit en croix qui consiste à multiplier sur la diagonale avec deux nombres connus, puis diviser sur la colonne avec deux nombres connus et j'obtiens le quatrième nombre. C'est la méthode conséquence du produit en croix. Je multiplie sur la diagonale comme me fait penser le symbole de multiplication. Je divise sur la colonne comme me fait penser le symbole de division et j'obtiens le nombre cherché, soit \(BE\) égal \(4,5\) multiplié par \(7\) divisé par \(3\).
Eh bien, si tu \(4,5 \times 7 / 3\), tu vas trouver \(10,5\). OK. Et bien on poursuit. Maintenant on va calculer \(BD\). \(BD\) égal Alors ben on va faire pareil. Je vais prendre par exemple ces quatre nombres. Je cherche \(BD\). Je connais \(4\). Ah, je connais pas \(BE\). Si, maintenant je le connais puisque je viens de le calculer ici. Donc là, vu que c'est une valeur exacte, on peut même carrément remplacer et mettre \(10,5\) et je connais ce nombre-là. Et bien \(BD\) égale à \(4\) multiplié par \(10,5\) divisé par \(4,5\). Je multiplie sur la diagonale, je divise sur la colonne. Et bien si tu effectues tout ceci, alors là ça ne donne pas une valeur exacte, ça donne environ \(9,3\). On peut donner une valeur exacte si on le veut. Bon, ici on va s'arrêter à une valeur approchée.
Comment calculer une longueur qui n'est pas dans la formule de Thalès ?
J'ai donc \(BD\), j'ai donc \(BE\). Regardons qu'est-ce qu'on cherche. On cherchait \(BD\). Donc pour \(BD\), c'est réglé. Et on cherchait \(EF\). Ah, là c'est pas encore réglé. Moi je cherche cette longueur. Mais j'ai \(BE\), c'est-à-dire j'ai cette longueur qui est de \(10,5\). Bon ben je pense que tu as compris. Ça va aller très vite. Si je cherche \(EF\) connaissant \(BE\) et connaissant \(BF\), il suffira de faire \(10,5\) \(4,5\) ceci donne \(6\) et tu obtiens la longueur \(EF\) demandée qui est donc égale à \(6\). Cette fois-ci, c'est une valeur exacte et cette séquence est terminée.
