S'entraîner : appliquer l'égalité de Pythagore

Comment résoudre un problème de géométrie avec le théorème de Pythagore en 4ème ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir t'entraîner à utiliser la formule de Pythagore théorème et réciproque si jamais cet exercice te pose des difficulté n'hésite pas à cliquer sur le lien ici à droite tu tomberas sur une playlist où est hébergé d'autres vidéos qui t'expliqueent bien plus en détail le principe de l'utilisation du théorème et de la réciproque de Pythagore ici on va aller un peu plus vite dans la résolution de l'exercice je te laisse prendre connaissance de l'énoncé et commencer à résoudre cet exercice tu peux mettre la vidéo en pause

correction alors euh donc ici on nous demande c'est un problème un petit peu ouvert quand même on nous demande de savoir si le triangle \(Mac\) est un triangle rectangle alors comme ça a priori on peut pas répondre parce que pour utiliser la formule de Pythagore dans cette situation-là plus précis plus plus précisément pardon la réciproque du théorème de Pythagore il faudrait avoir les longueurs des trois côtés de notre triangle \(Mac\) or je n'ai que deux côtés mais je peux calculer la longueur du trisième côté pourquoi parce que euh dans l'autre triangle celui d'en dessous \(m C\) et bien j'ai la longueur de deux côtés ce triangle est rectangle donc je vais pouvoir appliquer le théorème de Pythagore pour calculer l' l'hypoténuse \(MC\) donc on va déjà commencer par calculer l'hypoténuse \(MC\) alors si jamais tu es un petit peu coincé en lisant l'énoncé bien ce que je te propose c'est d'appliquer le théorème de Pythagore pour calculer \(MC\) tu mets la vidéo en pause et tu regardes la solution ensuite

Comment calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?

correction alors quand on a appliqué le théorème de Pythagore on situe toujours les choses surtout dans une figure complexe comme ça il faudrait pouvoir dire au lecteur au correcteur où c'est que je travaille et pourquoi je peux appliquer ce théorème bien ce qu'on va faire c'est qu'on va déjà rappeler que le triangle \(m c\) est rectangle en \(I\) à partir de là je peux appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle qui me dit quoi qui me dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés le carré de l'hypoténuse l'hypoténuse c'est quoi c'est \(MC\) donc le carré de \(MC\) \(MC\) car est égal à la somme des carrés des deux autres côtés les deux autres côtés sont \(mi\) et \(IC\) \(mi\) car + \(IC\) Carr voilà la formule de Pythagore appliqué dans le triangle \(mic\) car le triangle \(mic\) est rectangle donc j'ai le droit d'appliquer cette formule bien maintenant je vais remplacer dans le but de calculer \(MC\) ça tombe bien c'est l'hypoténuse c'est la situation facile donc remplaçons \(mi\) par sa valeur \(mi\) vaut \(6,4\) soit \(6,4^2\) plus \(IC\) vaut \(21,6\) donc \(21,6\) au carré calculons maintenant \(6,4^2\) alors ceci e bien on le fait à l'aide de la calculatrice on trouve \(40,96\) je passe sur les calculs hein tu utilises ta machine plus \(21,6\) au Carr on trouve \(466 56\) on fait la somme des deux soit \(50752\) exactement donc \(mc^2\) est égal à \(507,52\)

Comment utiliser la racine carrée pour trouver une longueur ?

mais moi c'est pas \(mc^2\) que je voudrais c'est \(MC\) on a dit qu'on voulait calculer \(MC\) donc quel est le nombre qui au carré est égal à \(507,52\) et bien pour ça il suffit d'utiliser la touche racine carrée de la calculatrice pour cela je te montre et bien on saisit la touche racine carrée de la calculatrice qui la plupart du temps est caché en touche inverse de la touche carrée voilà et j'écris derrière \(507,52\) et bien la calculatrice va me dire quel est le nombre qui au carré est égal à ça et quel est ce nombre ah bah pas de chance ce nombre semble ne pas avoir d'écriture décimale exacte bon bah c'est pas grave on va lui donner une valeur approchée du coup \(MC\) est environ égal à bon on va prendre \(22,5\) \(22,5\) c'est une valeur approché correcte

Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour savoir si un triangle est rectangle ?

j'ai donc maintenant \(MC\) j'ai donc maintenant dans mon deuxième triangle celui du haut \(ma\) les trois longueurs je vais donc pouvoir vérifier à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore si ce triangle est rectangle alors ce qu'on va faire là encore si jusque- là bah tu as éventuellement coincé ce que je te propose c'est de vérifier donc avec les longueur si ton triangle est effectivement rectangle tu mets la vidéo en pause et je corrige derrière

correction alors bien comment ça fonctionne la réciproque du théorème de Pythagore la réciproque du théorème de Pythagore elle nous dit que si le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle est-ce que ceci c'est vrai bah pour savoir si c'est vrai je vais calculer le carré de l'hypoténuse je vais calculer la somme des carrés des deux autres côté je regarde si je trouve la même chose carré de l'hypoténuse mais bon c'est quoi l'hypoténuse il y a pas d'hypoténuse puisque je sais pas que mon triangle est est est rectangle ou non alors comment je vais faire alors il y a pas d'hypoténuse mais s'il y avait hypoténuse si ce triangle était rectangle l'hypoténuse serait nécessairement le plus grand côté ça c'est sûr

Comment savoir quel est le plus grand côté dans un triangle ?

donc si ce triangle est rectangle le plus grand côté c'est quoi alors c'est pas \(ma\) déjà il est tout petit celui-là \(AC\) fait \(22,4\) ah c'est peut-être celui-là \(MC\) fait \(22,5\) et \(22,5\) c'est plus grand que \(22,4\) on se rappelle tout à l'heure qu'on avait donné un arrondi mais en réalité c'était même \(22,52\) avec un \(8\) derrière donc c'est sûr c'est \(MC\) le plus grand côté donc si il y a hypoténuse si mon triangle est rectangle c'est forcément \(MC\) qu'il faudra calculer tout seul donc je commence par faire \(mc^2\) \(mc^2\) égal quoi alors égal égal \(22,5\) au Carr ahah c'est là le piège

Quelle est la différence entre une valeur exacte et une valeur approchée avec Pythagore ?

ça pourrait marcher mais le problème c'est que si tu prends \(22,5\) au Carr tu vas travailler avec une valeur approchée alors que si on regarde un tout petit peu plus haut \(mc^2\) je l'ai ici et en valeur exacte là il y a marqué égal et ça c'est \(mc^2\) et ça tombe bien parce que c'est \(mc^2\) que j'ai besoin donc je ne vais pas ici ici écrire \(22,5\) au Carr qui me donnerait une valeur approchée mais je vais prendre carrément ma valeur exacte j'ai comme ça j'ai même pas besoin de calculer en plus \(507,52\) voilà pour \(mc^2\)

poursuivant est-ce que ceci c'est pareil que la somme du Carré des deux autres côtés alors c'est quoi le carré des deux autres côtés c'est \(ma\) Carr plus l'autre et bien c'est \(AC\) au² et bien calculons \(ma^2 + ac^2\) \(ma\) fait combien c'est marqué \(2,4\) soit \(2,4\) au carr+ \(AC\) \(AC\) fait combien \(22,4\) so \(22,4\) au Carr calculons ceci à la calculatrice toujours \(2\) \(2,4\) au² tu vas trouver \(5,76\) plus \(22,4\) au Carr tu vas trouver \(50176\) égal ceci sont des valeurs exactes il y a pas d'arrondi on trouve exactement ça sur la calculatrice tu fais la somme de \(5,76\) et \(501,76\) tu vas trouver \(507 52\) exactement \(507,52\) tiens tiens ça me dit quelque chose et ben oui évidemment c'est ce que j'avais pour \(mc^2\)

Comment rédiger la conclusion de la réciproque du théorème de Pythagore ?

et bien \(mc^2\) est bien égal à \(ma^2 + ac^2\) ce qui veut dire que le carré du côté le plus grand le carré de l'hypoténuse est bien égal à la somme des carrés des deux autres longueur ici dans ce cas le la réciproque du théorème de Pythagore va pouvoir fonctionner mon triangle et bien rectangle on peut noter tout ça

donc \[mc^2 = ma^2 + AC^2\] ça il faut toujours l'écrire quand tu appliques la réciproque du théorème de Pythagore parce que c'est ça dont tu as besoin cette propriété maintenant on indique qu'on fait marcher la propriété d'après la réciproque du théorème de Pythagore il faut toujours le dire bien sûr on conclu le triangle \(Mac\) est rectangle en \(A\) et évidemment puisque \(MC\) étant l'hypoténuse et bien l'angle droit se trouve opposé à cette hypoténuse et l'angle droit est bien \(a\) donc le triangle \(MC\) et rectanglant \(a\) cette séquence est terminée