Écrire sous forme décimale un nombre écrit avec une puissance de 10

Comment écrire un nombre avec une puissance de 10 sous forme décimale en 4ème ?

[Musique]
Bonjour, dans cette vidéo, tu vas apprendre à écrire sous forme décimale des nombres écrits à l'aide de puissance de 10. On a ici donc quatre exemples et pour chacun d'eux, donc on voudrait retrouver la forme décimale. On va déjà regarder globalement ces quatre exemples juste pour comprendre la technique. On voit ici qu'on a un nombre multiplié par une puissance de \( 10^5 \). Ici c'est \( \times 10^8 \). Celui-ci c'est \( \times 10^{-2} \) et ce dernier c'est \( \times 10^{-3} \).

Il y a une petite différence, c'est que les deux premiers l'exposant est positif, les deux derniers l'exposant est négatif. Et ça c'est très important de le voir d'entrée de jeu parce que ça va engendrer des petites manipulations au niveau de la technique pour retrouver notre nombre sous sa forme décimale.

Comment savoir dans quel sens déplacer la virgule avec une puissance de 10 ?

Si je multiplie par exemple par \( 10^5 \), c'est comme si je multipliais par 10 enfin 1 suivi de 5 0. C'est-à-dire c'est comme si je multipliais par 100000. Dans le cas d'un négatif, si je multiplie par \( 10^{-2} \), c'est comme si je multipliais par 00, 01. C'est dire 1 précédé de 0. Je précise que pour retrouver ces valeurs décimales là, il existe une vidéo. Tu peux cliquer sur le lien si jamais ça te pose problème. On revient à nos moutons.

Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que quand l'exposant est positif, je vais multiplier par un très très grand nombre. Et si je multiplie par un très très grand nombre, ce nombre là va grandir. Alors que quand l'exposant est négatif, je vais multiplier par un nombre très petit, très proche de zéro. Et quand on multiplie par un nombre très proche de zéro, et bien le nombre qui est multiplié va devenir plus petit. C'est très important de le savoir parce que c'est ça qui va dire dans quel sens la virgule va se balader.

Comment multiplier un nombre décimal par une puissance de 10 positive ?

Allons-y. Attaquons maintenant le premier cas. \( 3,25 \times 10^5 \). Là, je multiplie par un très grand nombre. Donc nécessairement pour que ce nombre devienne plus grand, il faut que la virgule parte vers la droite. Ce qui fait concrètement, alors je recopie 3 2 et 5. J'ai ma virgule qui est actuellement ici entre le 3 et le 2. Je multiplie par \( 10^5 \), c'està dire je multiplie par 100000.

Je vais donc déplacer ma virgule autant de fois qu'il y a de zéro, c'est-à-dire autant de fois que me le dit l'exposant, c'est-à-dire 5 fois. Et bien, déplaçons la virgule 5 fois. Si je la mets là, j'ai multiplié par 10. Si je la mets là, j'ai multiplié par 100. Si je la mets là, j'ai multiplié par 1000. Il faut que je rajoute un 0. Si je la mets là, j'ai multiplié par 10000, je rajoute encore un zéro. Et si je la mets là, j'ai multiplié par 100000 et je rajoute enfin encore un 0. Et bien, j'ai donc déplacé ma virgule. On peut recomterre de 5 rangs 1 2 3 4 5 parce que j'ai multiplié par \( 10^5 \) parce que j'ai multiplié par 100000. Dans la pratique évidemment, on ne passe pas par 100000. On regarde simplement l'exposant et on déplace la virgule autant de fois que nous le dit l'exposant.

Appliquons tout de suite cette règle au deuxème cas. 4 2 1 2 5. Actuellement, ma virgule est ici et je vais devoir la déplacer selon l'exposant 8 fois puisque mon nombre va grandir. Donc, je vais bien la déplacer dans le sens vers la droite. Et bien 8 fois, allons-y. Une fois, elle est là. de fois, 3 fois, 4 fois. Et c'est terminé. J'ai trouvé le résultat de 42,125 m* par \( 10^8 \). C'est alors là, il vaut mieux cette fois-ci regrouper les zéos par 3, ici par 3 encore et là par 3 pour arriver à lire ce nombre 4R212500000.

Comment multiplier par une puissance de 10 avec un exposant négatif en 4ème ?

Passons aux deux derniers cas. euh cela où la virgule va partir dans l'autre sens. Alors bien la technique reste strictement la même. Je commence par recopier mon nombre 1. Alors par contre, je laisse toujours un peu de place à gauche parce que il se peut autant là les zéos arrivés vers la droite que comme je vais déplacer la virgule vers la gauche, les zéros peuvent arriver vers la gauche. On sait pas trop où. Donc par prudence, vaut mieux laisser toujours un petit peu de place. Bon, ici ça posera pas de problème. Je me suis arrangé pour que ça n'aille pas trop à gauche.

Voilà, 1 5 8 9 2. Actuellement, la virgule est ici. Je multiplie par 0,01, c'est-à-dire par \( 10^{-2} \) et multiplié par 0,01 fait déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche. Autant de fois qu'il y a de zéro, autant de fois que l'exposant nous le dit. Donc la virgule est actuellement ici une fois, deux fois terminé. Le résultat est 15,892.

Appliquons cette règle au dernier exemple. Je recopie mon nombre 1 2 5 8. La virgule est actuellement ici entre le 5 et le 8. \( 10^{-3} \). Je vais donc rendre mon nombre plus petit. Donc je déplace vers la gauche. 2 3 rangs comme nous le dit l'exposant. 1 2 3. La virgule arrive ici. Du coup, je suis obligé de rajouter un 0. Le résultat est 0,12585.

Et cette séquence est terminée.